Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Электростатика, электрическое поле, потенциал - лекции

Дивергенция

Электрическое поле имеет определенную величину и направление в каждой точке, т.е. E=E(x,y,z). В математике для характеристики локальных свойств векторных полей, т.е. их свойств в окрестности некоторой точки, вводятся соответствующие дифференциальные величины. Одной из них является дивергенция. По определению дивергенция векторной функции a (обозначается div a) есть следующая скалярная функция координат

(2.13)

где V - объем, в котором находится некоторая точка, а S - окружающая этот объем поверхность произвольной формы. Таким образом div a является потоком этого вектора наружу из объема V, приходящимся на единицу объема в пределе, когда V стягивается к этой точке.

Рис. 2.7

Предположим, что векторная функция a задана в декартовой системе координат. Это означает, что известны три скалярные функции ax(x,y,z), ay(x,y,z), az(x,y,z). Найдем выражение для дивергенции в точке P(x,y,z) в декартовой системе координат. Выберем область, оружающую точку P в виде ящика со сторонами x, y, z. Найдем суммарный поток Ф(x) вектора a через две противоположные грани, перпендикулярные оси x:

где ax1и ax2 средние значения проекций ax на гранях, к которым на рис. 2.7 проведены соответствующие нормали.

Приближенно можно записать, что

Тогда

где V - объем ящика.

По аналогии можно записать и компоненты потока через пары противоположных граней, перпендикулярных осям y и z. Тогда полный поток вектора a через всю поверхность ящика будет

Устремляя объем ящика к нулю, путем стягивания его к точке P перейдем от приближенного равенства к точному и получим, согласно определению дивергенции (2.13), что в декартовых координатах

(2.14)

Учитывая, что векторный оператор набла определен в декартовых координатах как

можно представить дивергенцию в виде скалярного произведения оператора набла на вектор a:

,

причем представление дивергенции в виде скалярного произведения оператора набла на вектор сохраняет силу и для других систем координат (цилиндрической, сферической и т.д.). И вектор и оператор набла должны быть, естественно, записаны в одной и той же системе (см. Лекцию 3, где оператор набла представлен в полярной системе координат).

Для выяснения физического смысла понятия дивергенции в случае электрического поля обратимся к представлению поля E силовыми линиями. Если в окрестности точки P зарядов нет, то количество линий входящих в ящик будет равно числу линий выходящих из ящика. Таким образом поток через всю поверхность, окружающую точку P, будет равен нулю, а с ним будет равна нулю и дивергенция (см. 2.13). Если вблизи точки P есть положительный заряд, то выходящие из него линии создадут дополнительный поток из ящика и, поскольку выходящие линии ориентированы в сторону внешней нормали к стенкам ящика, знак этого дополнительного потока будет положительным (а в случае отрицательного заряда в точке P - отрицательным). Тогда дивергенция будет мерой этого дополнительного потока на единицу объема, возникающего или исчезающего в точке P.

Одноосные кристаллы

Кристаллы не обязательно или даже редко бывают изотропными. В частности, скорость распространения света в кристалле может зависеть от направления (плоскости) колебаний вектора электрического поля. Простейшим случаем является одноосный кристалл. Конспект лекций по ядерной физике Ядро состоитиз особых частиц - протонов и нейтронов. Протон имеет один элементарный положительный электрический заряд, а электрический заряд нейтрона равен нулю. Магнитные свойства вещества Магнитное поле

Если внутри такого кристалла имеется точечный источник света, волновой фронт (лучевая поверхность) будет иметь форму эллипсоида вращения. Дело в том, что скорость распространения в таком кристалле зависит от ориентации направления поляризации света по отношению к некоторму направлению - оси кристалла. В показанном на рисунке случае положительного одноосного кристалла скорость распространения света максимальна, если направление поляризации перпендикулярно оси. Существуют также отрицательные одноосные кристаллы, в которых эта скорость минимальна.