Исследование функций и построение графиков

studrus.ru

Геометрическая оптика

Фотоэлектрический эффект

Ядерные реакции

Элементы чертежей и схем

Волновые свойства

Квантовая механика

Электростатика

АН СССР

Квантовая физика

Электромагнитное поле

Конструкционные материалы

выбора цвета визуально

Оформление чертежей

Справочник по физике

Учебник по документообороту

Квантовая физика

Прикладная математика

Промышленные выставки

Релятивистская механика

Задачник по ядерной физике

Высшая математика

Функции и их графики

Найти дивергенцию и ротор векторного поля

Выпуклость и точки перегиба

Пределы функции

узкополосный фильтр

Непрерывность функций и точки разрыва

Производные и дифференциалы

Свойства дифференцируемых функций

Исследование функций и построение графиков

Кривизна плоской кривой

Квантование и дискретизация

Векторная алгебра

Прямые линии и плоскости

Кривые и поверхности второго порядка

Учебник Outlook

Maple

Первое знакомство с Maple Информационная поддержка Работа с файлами и документами Управление интерфейсом пользователя Типы данных системы Встроенные операторы и функции Типовые средства программирования Математический анализ Анализ функций и полиномов Символьные операции Типовые средства построения графиков Расширенные средства графики Решение дифференциальных уравнений Математические пакеты Пакеты линейной алгебры Обзор пакетов Решение научных задач

MATLAB

Знакомство с MATLAB Установка системы Визуализация вычислений Работа со справкой Интерфейс MATLAB Обычная графика MATLAB Специальная графика Операторы и функции Математические функции Операции с векторами и матрицами Матричные операции Функции разреженных матриц Многомерные массивы Массивы структур Массивы ячеек Численные методы Обработка данных Работа с символьными данными Работа с файлами Основы программирования Отладка программ Поддержка звуковой системы Пакеты расширения MATLAB

Асимптоты графика функции Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

Пример   Рассмотрим функцию . Её график имеет вертикальную асимптоту , так как при .

Пример   Прямая не является вертикальной асимптотой графика функции , поскольку здесь нельзя утверждать, что при или функция стремится к бесконечности.

Пример   Рассмотрим функцию . График этой функции имеет наклонную асимптоту при .

Определение   Линия называется асимптотической линией графика функции при (или при ), если обе эти функции определены на некотором луче (или луче ) и разность ординат графиков стремится к 0 при (или при , соответственно).  

Пример   Найдём наклонные асимптоты графика .   Цилиндрические координаты Примеры решения и оформления задач контрольной работы

Пример   Рассмотрим функцию . Покажем, что обе её наклонные асимптоты существуют, но не совпадают друг с другом.   

Возрастание и убывание функции Возрастание и убывание дифференцируемой функции связано со знаком её производной. Напомним, что функция называется возрастающей на интервале , если для любых двух точек из неравенства следует, что ; убывающей на интервале Теорема   Если дифференцируемая функция не убывает на интервале , то при всех ; если же функция не возрастает на , то при .

Экстремум функции и необходимое условие экстремума Пусть функция определена в некоторой окрестности , , некоторой точки своей области определения. Точка называется точкой локального максимума, если в некоторой такой окрестности выполняется неравенство (), и точкой локального минимума, если .     

Пример   Рассмотрим функцию . Как и в предыдущем примере, производная существует при всех ; она равна .

Достаточные условия локального экстремума В предыдущих примерах мы видели, что хотя необходимое условие не гарантировало наличие экстремума в критической точке, мы смогли исследовать поведение функции в окрестности этой точки и выяснить, имеется ли в ней экстремум и если да, то какого рода. Однако для выяснения этого нам пришлось иной раз прибегать к искусственным преобразованиям функции, которые во общем случае могут быть не очевидны или затруднительны. В данном разделе мы рассмотрим несколько общих теорем, позволяющих исследовать поведение функции в критической точке. Известный психолог Л. Выгодский доказал закон эстетической реакции придя к выводу, что она заключает в себе эффект, развивающийся в двух направлениях, который в завершающей точке как бы в коротком замыкании находит свое уничтожение

Теорема   Пусть  -- критическая точка функции , и у этой функции существует производная в некоторой проколотой окрестности

Пример   Рассмотрим функцию . Её производная равна ; решая уравнение , находим стационарные точки функции

Теорема  Пусть функция имеет -ю производную в некоторой окрестности точки и эта производная непрерывна в точке .

Выпуклость функции Функция называется выпуклой вниз (или просто выпуклой) на интервале , если график функции идёт не выше хорды, соединяющей любые две точки графика и при .

Пример Рассмотрим функцию . Эта функция выпукла на любом интервале оси . Действительно, если интервал не содержит точки 0, то графики и на таком интервале совпадают, откуда следует, что неравенство (7.4) выполнено и функция выпукла.

Замечание   Функция равна тангенсу угла наклона хорды, одним из концов которой служит фиксированная точка , а вторым концом -- переменная точка графика

Замечание   Очевидно, что аналогично доказывается следующее утверждение:

функция вогнута на интервале тогда и только тогда, когда при любом функция не возрастает на множестве .    

Теорема  Пусть на интервале функция имеет вторую производную . Функция выпукла на тогда и только тогда, когда при всех , и вогнута тогда и только тогда, когда при всех .

Пример   Рассмотрим функцию примера 7.24: . Её производная равна ; вторая производная .

Замечание   Теорема 7.11 проясняет тот факт, что условие достаточно для наличия локального минимума в стационарной точке функции .

Замечание   Очевидно, что для вогнутых функций верно аналогичное утверждение:

дифференцируемая функция вогнута на интервале тогда и только тогда, когда её график идёт не выше любой касательной:

Пример   Рассмотрим функцию ; её вторая производная равна и равняется 0 при .

Общая схема исследования функции и построения её графика После того как мы обсудили многие аспекты поведения функции и способы их исследования, сформулируем общую схему исследования функции. Эта схема даст нам практический способ построения графика функции, отражающего основные черты её поведения.

Область определения функции. В некоторых примерах область определения задаётся в самом условии задачи, например: "Построить график функции, заданной при ".

Примеры исследования функций и построения графиков Пример   Построим график функции .

1). Функция  -- многочлен, а у всех многочленов область определения -- вся вещественная ось: .

Пример   Исследуем функцию и построим её график.

Пример   Исследуем функцию и построим её график.

Упражнения и задачи

Упражнение   Найдите область определения и вертикальные асимптоты графика функции

  Упражнение Найдите наклонные или горизонтальные асимптоты графика функции

 Упражнение   Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Упражнение   Найдите интервалы возрастания и убывания и точки локальных экстремумов функций:

Упражнение   Найти стационарные точки функций и исследовать их на наличие локального экстремума: