Высшая математика - Непрерывность функций и точки разрыва

дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Экспорт рисунка в файл Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную

Геометрическая оптика
Фотоэлектрический эффект
Ядерные реакции
Элементы чертежей и схем
Волновые свойства
Квантовая механика
Электростатика
АН СССР
Квантовая физика
Электромагнитное поле
Конструкционные материалы
выбора цвета визуально
Оформление чертежей
Справочник по физике
Учебник по документообороту
Квантовая физика
Прикладная математика
Промышленные выставки
Релятивистская механика
Задачник по ядерной физике
Высшая математика
Функции и их графики
Найти дивергенцию и ротор
векторного поля
Выпуклость и точки перегиба
Пределы функции
узкополосный фильтр
Непрерывность функций
и точки разрыва
Производные и дифференциалы
Свойства дифференцируемых
функций
Исследование функций
и построение графиков
Кривизна плоской кривой
Квантование и дискретизация
Векторная алгебра
Прямые линии и плоскости
Кривые и поверхности
второго порядка
Учебник Outlook
Maple
  • Первое знакомство с Maple
  • Информационная поддержка
  • Работа с файлами и
    документами
  • Управление интерфейсом
    пользователя
  • Типы данных системы
  • Встроенные операторы и
    функции
  • Типовые средства
    программирования
  • Математический анализ
  • Анализ функций и полиномов
  • Символьные операции
  • Типовые средства
    построения графиков
  • Расширенные средства
    графики
  • Решение дифференциальных
    уравнений
  • Математические пакеты
  • Пакеты линейной алгебры
  • Обзор пакетов
  • Решение научных задач
    • MATLAB
  • Знакомство с MATLAB
  • Установка системы
  • Визуализация вычислений
  • Работа со справкой
  • Интерфейс MATLAB
  • Обычная графика MATLAB
  • Специальная графика
  • Операторы и функции
  • Математические функции
  • Операции с векторами
    и матрицами
  • Матричные операции
  • Функции разреженных матриц
  • Многомерные массивы
  • Массивы структур
  • Массивы ячеек
  • Численные методы
  • Обработка данных
  • Работа с символьными данными
  • Работа с файлами
  • Основы программирования
  • Отладка программ
  • Поддержка звуковой системы
  • Пакеты расширения MATLAB

    •  

    Третья глава посвящена изучению понятия непрерывности и точек разрыва числовых функций. Здесь изучаются свойства непрерывных функций, в том числе связанные с достаточно сложным понятием равномерной непрерывности. Многие утверждения этой главы являются базовыми для различных приложений, например, связанных с поиском корней уравнений и экстремумов функций. Порядок и нарушение его, противопоставление разных композиционных систем – только одна из возможностей диалектических пар, способных раскрыть значимую информацию, усваиваемую через противопоставление

    Если у Вас большие трудности со временем и Вы наглядно представляете себе, что такое непрерывная функция, то поначалу вы можете бегло ознакомиться с этой главой, возвращаясь к ней по мере надобности в дальнейшем, по мере появления ссылок на утверждения этой главы.

    Определение непрерывности функции Мы повторим здесь определение непрерывности функции, данное выше, в главе о пределах.

    Предложение   Функция $ f(x)$ тогда и только тогда непрерывна в точке $ x_0$, когда она непрерывна в точке $ x_0$ справа и слева, то есть когда выполнены следующие условия:

    Определение точек разрыва Дадим теперь определение точек разрыва функции. Поверхностный интеграл Примеры решения и оформления задач контрольной работы

    Пример   Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{\vert x^2-x\vert}{x^2-x}$, для которой

     

    $\displaystyle \mathcal{D}(f)=\{x\in\mathbb{R}:x^2-x\ne0\}=(-\infty;0)\cup(0;1)\cup(1;+\infty).$
     Пример   Возьмём $ f(x)=\frac{\sin x}{x}$. Все точки области определения $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\}$ этой элементарной функции являются точками непрерывности

    Свойства функций, непрерывных в точке Поскольку точки $ x_0$ непрерывности функции $ f(x)$ задаются условием $ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$, то часть свойств функций, непрерывных в точке $ x_0$, следует непосредственно из свойств пределов.

     Теорема   Пусть функции $ f$ и $ g$ таковы, что существует композиция $ {h(x)=(f\circ g)(x)=f(g(x))}$, $ x\in\mathcal{D}(g)$. Пусть функция $ g$ непрерывна в точке $ x_0\in\mathcal{D}(g)$, а функция $ f$ непрерывна в соответствующей точке $ u_0=g(x_0)\in\mathcal{D}(f)$. Тогда композиция $ h=f\circ g$ непрерывна в точке $ x_0$.

    Непрерывность функции на интервале и на отрезке Определение   Пусть $ f$ -- некоторая функция, $ \mathcal{D}(f)$ -- её область определения и $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$ -- некоторый (открытый) интервал (может быть, с $ a=-\infty$ и/или $ b=+\infty$). Назовём функцию $ f$ непрерывной на интервале $ (a;b)$, если $ f$ непрерывна в любой точке $ x_0\in(a;b)$, то есть для любого $ x_0\in(a;b)$ существует $ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ (в сокращённой записи:
    $ \forall\ x_0\in(a;b)\ \exists\ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)).$

      Определение Назовём функцию $ f(x)$ непрерывной на множестве $ A\sbs\mathcal{D}(f)$, если
      $ \forall\ x_0\in A\ \exists\ \lim\limits_{\mathcal{B}(x_0)^A}f(x)=f(x_0)).$     

       Пример   Рассмотрим функцию $ f(x)=\cos x-x$ на отрезке $ [0;\frac{\pi}{2}]$. Поскольку $ f(0)=1$ и $ f(\frac{\pi}{2})=-\frac{\pi}{2}$ -- числа разных знаков, то функция $ f(x)$ обращается в 0 в некоторой точке $ x_0$ интервала $ (0;\frac{\pi}{2})$. Это означает, что уравнение $ \cos x=x$ имеет корень $ x_0\in(0;\frac{\pi}{2})$.  

       Лемма   Пусть $ f(x)$ -- непрерывная функция на отрезке $ [a;b]$, и множество $ M$ тех точек $ x\in[a;b]$, в которых $ f(x)=K$ (или $ f(x)\leqslant K$, или $ f(x)\geqslant K$) не пусто.    

      Теорема (о достижении экстремума непрерывной функцией)   Пусть функция $ f(x)$ непрерывна на отрезке $ [a;b]$. Тогда существует точка $ x_*\in[a;b]$, такая что $ f(x_*)\leqslant f(x)$ при всех $ x\in[a;b]$ (то есть $ x_*$ -- точка минимума: $ f(x_*)=\min\limits_{x\in[a;b]}f(x)$), и существует точка $ x_{**}\in[a;b]$, такая что $ f(x_{**})\geqslant f(x)$ при всех $ x\in[a;b]$ (то есть $ x_{**}$ -- точка максимума: $ f(x_{**})=\max\limits_{x\in[a;b]}f(x)$).

    Равномерная непрерывность Напомним, что непрерывность функции $ f(x)$ в точке $ x_0$ означает, что $ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$, то есть $ \forall{\varepsilon}>0\ \exists{\delta}>0\ \forall x\in I: \vert x-x_0\vert<{\delta}\Longrightarrow \vert f(x)-f(x_0)\vert<{\varepsilon}.$

      Пример   Пусть функция $ f(x)=\dfrac{1}{x}$ рассматривается на интервале $ (0;1)$.

      Теорема   Пусть $ I=[a;b]\sbs\mathcal{D}(f)$ и функция $ f(x)$ непрерывна на $ I$. Тогда $ f(x)$ равномерно непрерывна на $ I$.

    Непрерывность обратной функции Теорема   Пусть $ f$ -- непрерывная монотонная функция, $ \mathcal{D}(f)=[a;b]$, $ \mathcal{E}(f)=[c;d]$. Тогда обратная к $ f$ функция $ {\varphi}$ непрерывна на отрезке $ [c;d]$.

    Гиперболические функции и ареа-функции Для рассмотрения дальнейших примеров нам понадобится определение гиперболических функций и ареа-функций, обратных к гиперболическим.

      Замечание   В англоязычной литературе используется обозначение $ \sinh$ вместо $ \mathop{\rm sh}\nolimits $, $ \cosh$ вместо $ \mathop{\rm ch}\nolimits $, $ \tanh$ вместо $ \mathop{\rm th}\nolimits $, $ \coth$ вместо $ \mathop{\rm cth}\nolimits $.     Некоторые из свойств гиперболических функций схожи (но не всегда в точности совпадают) со свойствами соответствующих тригонометрических функций.

    Примеры и упражнения

      Пример   Пусть функция $ f(x)$ определена на интервале $ (0;4)$ следующим образом:

     

    $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \dfrac{1}{x},&\mbox{ если }x\in(0;... ...x,&\mbox{ если }x\in(2;3];\\ 2,&\mbox{ если }x\in(3;4). \end{array}\right. $

     

    Найдём её область непрерывности и точки разрыва.

    Окружность

     

    Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;