дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Векторное произведение


  Предложение 10.19   Векторное произведение $ {\bf a}\times{\bf b}$ равно нулю тогда и только тогда, когда векторы a и b -- коллинеарные.

        Доказательство.    Из определения векторного произведения получим, что $ {{\bf a}\times {\bf b}=0}$ тогда и только тогда, когда $ {{\bf a}=0}$ , или $ {{\bf b}=0}$ , или $ {\sin {\varphi}=0}$ . Из последнего равенства получим, что $ {{\varphi}=0}$ или $ {{\varphi}=\pi}$ , в этом случае векторы a и b коллинеарны. Вспомнив, что нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору, получим, что предложение верно и при a или b, равных нулю.    

        Предложение 10.20   Для любых векторов a и b и любого числа $ {\lambda}$ выполняется равенство $ {({\lambda}{\bf a})\times {\bf b}={\lambda}({\bf a}\times {\bf b})}$ .

        Доказательство.    Если $ {\lambda}=0$ , то утверждение очевидно. Если векторы a и b -- коллинеарные, то векторы $ {\lambda}{\bf a}$ и b -- тоже коллинеарные, и поэтому обе части доказываемого равенства равны нулю.

Пусть $ {\lambda}>0$ , a, b -- неколлинеарные, $ {{\bf c}=({\lambda}{\bf a})\times {\bf b}}$ , $ {{\bf d}={\lambda}({\bf a}\times {\bf b})}$ . Тогда углы, образованные векторами a и b и векторами $ {\lambda}{\bf a}$ и b, равны. Следовательно,

Формула парабол Интегрирование по частям

$\displaystyle \vert{\bf c}\vert=\vert{\lambda}{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin... ...a}\times {\bf b}\vert={\lambda}\vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin{\varphi},$

то есть $ \vert{\bf c}\vert=\vert{\bf d}\vert$ . Оба вектора c и d перпендикулярны плоскости векторов a и b и направлены одинаково, так как равны углы между сомножителями. Следовательно, $ {{\bf c}={\bf d}}$ .

Пусть $ {\lambda}<0$ . Тогда векторы $ {\lambda}{\bf a},{\bf b}$ образуют угол $ \psi, \psi=\pi-{\varphi}$ , рис. 10.25.




Рис.10.25.


Вычисляем модули:

 

$\displaystyle \vert{\bf c}\vert=\vert{\lambda}{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin... ...\varphi})= \vert{\lambda}\vert\vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin{\varphi},$

 

$\displaystyle \vert{\bf d}\vert=\vert{\lambda}\vert\vert{\bf a}\times {\bf b}\vert=\vert{\lambda}\vert\vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin{\varphi},$

то есть $ \vert{\bf c}\vert=\vert{\bf d}\vert$ . Векторы $ {\bf a}\times {\bf b}, {\bf c}$ и d перпендикулярны плоскости векторов a и b. Векторы $ {\bf a}\times{\bf b}$ и c имеют противоположные направления, так как поворот от a и от $ {\lambda}{\bf a}$ к вектору b происходят в противоположных направлениях. Но вектор d имеет направление, противоположное вектору $ {\bf a}\times{\bf b}$ (рис. 10.25) и, следовательно, одинаковое с вектором c. Получили, что $ {\bf c}={\bf d}$ .    

        Предложение 10.21   Векторное произведение обладает свойством дистрибутивности, то есть $ {{\bf a}\times ({\bf b}+{\bf c})={\bf a}\times {\bf b}+{\bf a}\times {\bf c}}$ .

        Доказательство это свойства будет проведено позже.

С помощью векторного произведения можно найти площади параллелограмма и треугольника.

        Предложение 10.22   Площадь параллеллограмма, сторонами которого служат векторы a и b, равна модулю их векторного произведения,

 

$\displaystyle S_{пар}=\vert{\bf a}\times {\bf b}\vert.$

Площадь треугольника со сторонами a, b вычисляется по формуле

 

$\displaystyle S_{\triangle}=\frac 12\vert{\bf a}\times {\bf b}\vert.$

Доказательство естественным образом вытекает из условия 1 в определении векторного произведения.

Отметим еще одну особенность векторного произведения, отличающую его от операции умножения чисел.

        Предложение 10.23   Векторное произведение не является ассоциативным, то есть существуют такие векторы a, b, c, что $ {({\bf a}\times {\bf b})\times {\bf c}\ne{\bf a}\times ({\bf b}\times {\bf c})}$ .

        Доказательство.    Пусть a и b -- любые неколлинеарные векторы, $ {{\bf c}={\bf b}}$ . Тогда вектор $ {{\bf a}\times {\bf b}\ne0}$ , кроме того, этот вектор ортогонален плоскости векторов a и b. Таким образом, векторы $ {\bf a}\times{\bf b}$ и c -- неколлинеарные, поэтому $ {({\bf a}\times {\bf b})\times {\bf c}\ne0}$ . С другой стороны, $ {{\bf b}\times {\bf c}={\bf b}\times {\bf b}=0}$ по  предложению 10.19. Поэтому $ {{\bf a}\times ({\bf b}\times {\bf c})=0}$ . Получили, что $ {({\bf a}\times {\bf b})\times {\bf c}\ne{\bf a}\times ({\bf b}\times {\bf c})}$ .    

Комплексные числа

Седьмая глава -- это одна из самых выжных глав в математическом анализе. Здесь изучаются свойства числовых функций, связанные с их поведением при изменении аргумента. Эти свойства -- как раз то, для чего и был избретён аппарат вычисления производных и изучались их свойства. В этой главе изучаются связи производных с возрастанием и убыванием функций, с направлением выпуклости их графиков, с нахождением экстремальных (то есть наибольших и наименьших) значений. Изучаются также другие важные подробности поведения функций, например, наличие асимптот. Всё это изучающий математику должен хорошо освоить: предыдущие главы учебника были лишь прелюдией к седьмой главе.

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;