дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Методы, связанные с приближённым нахождением корня производной

Как уже отмечалось выше, если известно, что точка локального экстремума функции $ f(x)$ на отрезке $ [a;b]$ единственна и лежит внутри отрезка, то в этой точке $ x^*$ выполняется равенство $ f'(x^*)=0$. Таким образом, для нахождения точки локального минимума с точностью $ {\varepsilon}$ нужно с этой точностью найти корень уравнения $ f'(x)=0$. Будем предполагать, что для функции $ f'(x)$ известно аналитическое выражение или мы умеем вычислять значения $ f'(x)$ при заданном $ x$ каким-либо иным способом. Для нахождения корня мы можем применить один из приближённых методов решения уравнений, которые мы обсуждали в этой главе ранее.

Например, метод Ньютона, применённый к уравнению $ f'(x)=0$, даёт итерационную формулу (см. формулу (9.1)):

$\displaystyle x_{i+1}=x_i-\dfrac{f'(x_i)}{f''(x_i)},$

$ i=0,1,2,\dots$, причём для начала итераций нужно выбрать начальное приближение $ x_0$. При этом нужно будет уметь вычислять и вторую производную, а также предполагать, что она не обращается в 0 на интересующем нас отрезке.

Метод хорд даёт итерационную формулу (см. формулу (9.3)):

$\displaystyle x_{i+1}=x_i-\dfrac{f'(x_i)}{\dfrac{f'(x_i)-f'(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}},$

$ i=1,2,3,\dots$, причём для начала нужно выбрать два начальных значения $ x_0$ и $ x_1$.

Эти методы весьма эффективны, если выполняются условия их применимости. Их достоинства и недостатки -- продолжение тех же свойств соответствующих методов приближённого поиска корня.

Площадь поверхности тела вращения Геометрические приложения определенного интеграла

        Пример 9.11   Найдём локальные экстремумы, в том числе минимальное значение, функции $ f(x)=x^4-5x^3+6x-1$. Производная этой функции равна $ f'(x)=4x^3-15x^2+6$. Нетрудно видеть, вычислив, например, значения функции в точках $ -1,0,1,2,3,4$, что функция $ f'(x)$ имеет три корня $ x^{(1)}, x^{(2)}, x^{(3)}$, отделённых, соответственно, на отрезках $ [-1;0],[0;1],[3;4]$ (больше трёх корней многочлен третьей степени иметь не может). При переходе через каждый из этих корней производная меняет знак. Значит, функция $ f(x)$ имеет три локальных экстремума. Поскольку $ f(x)\to+\infty$ при $ x\to\pm\infty$, то нетрудно сообразить, что в точках $ x^{(1)}$ и $ x^{(3)}$ функция будет иметь локальный минимум, а в точке $ x^{(2)}$ -- локальный максимум. Один из двух локальных минимумов будет давать минимальное значение функции на всей оси $ Ox$.

Осталось найти точки $ x^{(1)},x^{(2)}$ и $ x^{(3)}$, вычислить в них значения функции и сравнить эти значения.

Точки $ x^{(k)}$ будем искать как корни уравнения $ f'(x)=0$, применяя метод Ньютона. Поскольку $ f''(x)=12x^2-30x$, то итерационная формула метода Ньютона для поиска любой из трёх точек $ x^{(k)}$ будет иметь вид

$\displaystyle x_{i+1}=x_i-\dfrac{4x_i^3-15x_i^2+6}{12x_i^2-30x_i}.$

Заметим, что поскольку $ f''(0)=0$, брать $ x_0=0$ в качестве начального приближения нельзя.

Точка $ x^{(1)}$ отделена на отрезке $ [-1;0]$, значит, возьмём за начальное приближение $ x_0=-1$. Далее, применяя итерационную формулу, получаем (с точностью $ {\varepsilon}=0.000001$):

$\displaystyle x_1=-0.690476;x_2=-0.597112;x_3=-0.588112;x_4=-0.588030;x_5=-0.588030.$

Значит, $ x^{(1)}=-0.588030$; вычисление значения функции $ f(x)$ даёт локальный минимум $ f(x^{(1)})=-3.391974$.

Беря за начальное приближение $ x_0=1$, получаем последовательные приближения к $ x^{(2)}$:

$\displaystyle x_1=0.722222;x_2=0.701634;x_3=0.701454;x_4=0.701454.$

Отсюда $ x^{(2)}=0.701454$; значение локального максимума таково: $ f(x^{(2)})=1.725116$.

Теперь возьмём за начальное приближение для $ x^{(3)}$ значение $ x_0=4$. Получаем последовательные приближения

$\displaystyle x_1=3.694445;x_2=3.638416;x_3=3.636578;x_4=3.636576;x_5=3.636576.$

Итак, $ x^{(3)}=3.636576$ и значение локального минимума равно $ f(x^{(3)})=-44.75112$.

Сравнивая два значения в точках локального минимума, получаем, что

$\displaystyle \min_{x\in\mathbb{R}}f(x)=f(x^{(3)})=-44.75112.$

Рис.9.18.Примерный график функции $ f(x)$


    

        Замечание 9.2   В случае, когда формулы для первой или второй производных функции $ f(x)$ неизвестны, но мы умеем вычислять значения самой функции $ f(x)$, можно попробовать воспользоваться формулами численного дифференцирования, которые мы обсуждали ранее, например:

$\displaystyle f'(x)\approx\dfrac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$

и

$\displaystyle f''(x)\approx\dfrac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2},$

взяв в качестве шага $ h>0$ достаточно малое число (но не слишком уж малое: ранее мы видели, что выбор слишком малого шага в формулах численного дифференцирования приводит к большим погрешностям). Конечно, если мы применяем вместо производных их конечно-разностные аналоги, вычисленные с шагом $ h$, то нельзя надеяться, что приближённое значение $ \wt x$ для $ x^*$ может быть найдено с точностью $ {\varepsilon}<h$. Поэтому следует выбирать $ h<{\varepsilon}$ при заданной точности $ {\varepsilon}$, а поскольку на $ h$ есть ограничения снизу, то мы видим, что добиться таким образом очень малой погрешности при нахождении точки экстремума нельзя.     

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;