дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Метод хорд (метод линейной интерполяции)

 

        Пример 9.8   Решим уравнение $ x^3+2x^2+3x+5=0$ методом хорд. Зададимся точностью $ {\varepsilon}=0.000001$ и возьмём в качестве начальных приближений $ x_0$ и $ x_1$ концы отрезка, на котором отделён корень: $ x_0=-2,x_1=-1$. Итерационная формула метода хорд при $ f(x)=x^3+2x^2+3x+5$ имеет вид

$\displaystyle x_{i+1}=x_i-\dfrac{f(x_i)}{\dfrac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}... ...dfrac{(x_i^3+2x_i^2+3x_i+5)-(x_{i-1}^3+2x_{i-1}^2+3x_{i-1}+5)} {x_i-x_{i-1}}}.$    

По этой формуле последовательно получаем:

\begin{multline*} x_2=-1.75;x_3=-1.905660; x_4=-1.840182; x_5=-1.843603;\\ x_6=-1.843735; x_7=-1.843734; x_8=-1.843734. \end{multline*}

Седьмое приближение уже дало нам значение корня с нужной точностью; восьмая итерация понадобилась для того, чтобы убедиться: с заданной точностью значение перестало изменяться. Получаем, что $ \wt x=-1.843734$.     

        Упражнение 9.3   Проведите вычисления тем же методом, переставив местами начальные приближения $ x_0$ и $ x_1$, то есть взяв $ x_0=-1, x_1=-2$. Убедитесь, что получаются другие значения для $ x_3,x_4,\dots$ и что с точностью $ {\varepsilon}$ уже $ x_6$ равняется искомому корню.     

        Пример 9.9   Проверим, что метод работает и в том случае, если $ x_0$ и $ x_1$ взяты по одну и ту же сторону от корня (то есть если корень не отделён на отрезке между начальными приближениями). Возьмём всё для того же уравнения $ x_0=-1.5$ и $ x_1=-1$. Тогда

\begin{multline*} x_2=-2.090909; x_3=-1.700772; x_4=-1.823138; x_5=-1.845616;\\ x_6=-1.843711; x_7=-1.843734; x_8=-1.843734. \end{multline*}

Мы получили то же значение $ \wt x$, причём за то же число итераций. Может показаться, что было бы выгоднее расположить начальные приближения иначе, так чтобы $ x_1$ было ближе к корню, чем $ x_0$. Однако при этом получаем фактически ту же скорость сходимости, можно заметить лишь небольшое ускорение:

\begin{multline*} x_2=-2.090909; x_3=-1.791404; x_4=-1.836390; x_5=-1.843972;\\ x_6=-1.843733; x_7=-1.843734; x_8=-1.843734. \end{multline*}

Понадобились всё те же семь вычислений.     

Вторая разновидность применения формулы (9.3) называется методом ложного положения. Предположим, что корень $ x^*$ отделён на отрезке между $ x_0$ и $ x_1$, то есть значения $ f(x_0)$ и $ f(x_1)$ -- разных знаков. После вычисления $ x_{i+1}$ по формуле (9.3) на очередном, $ i$-м, этапе из двух отрезков: между $ x_{i-1}$ и $ x_{i+1}$ и между $ x_i$ и $ x_{i+1}$ -- выбирают тот, в концах которого функция $ f$ принимает значения разных знаков. Если это отрезок между $ x_{i-1}$ и $ x_{i+1}$, то производят перенумерацию предыдущих приближений, то есть полагают $ x_i$ равным $ x_{i-1}$, а затем повторяют вычисления по формуле (9.3). Этим достигается, что при любом $ i$ корень $ x^*$ располагается на отрезке между $ x_i$ и $ x_{i+1}$, так что при выполнении условия $ \vert x_{i+1}-x_i\vert<2{\varepsilon}$, где $ {\varepsilon}$ -- желаемая точность нахождения корня, вычисления можно прекратить и взять приближённое значение корня равным $ \wt x=x_{i+1}$. При этом гарантируется, что будет выполнено неравенство $ \vert\wt x-x^*\vert<{\varepsilon}$, то есть корень будет определён с нужной точностью.

Такое усложнение алгоритма не даёт, на самом деле, сколько-нибудь заметного преимущества. Проиллюстрируем это на примере.

        Пример 9.10   В ситуации примера 9.8 применим метод ложного положения. Тогда последовательные приближения будут такими:


Как мы видим, отличаются от вычислений в примере 9.8 только приближения $ x_3,x_4,x_5,x_6$. (Заметим, что если бы в примере 9.8 мы взяли $ x_0=-1, x_1=-2$, см. упражнение 9.3, то вдобавок совпали бы значения $ x_3$.)     

\begin{multline*} x_2=-1.75; x_3=-1.835052; x_4=-1.842950; x_5=-1.843664;\\ x_6=-1.843728; x_7=-1.843734; x_8=-1.843734. \end{multline*}

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;