Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Отделение корней

   Пример 9.1   Рассмотрим уравнение . Это уравнение третьей степени, поэтому у него не более трёх корней. Подсчитаем несколько значений функции , выбирая для простоты целые значения :

Функция непрерывна (любой многочлен непрерывен), и имеет разные знаки на концах отрезков и ; следовательно, по теореме о корне непрерывной функции, на каждом из этих трёх отрезков имеется не менее чем по одному корню. Однако корней не более трёх, так что на каждом отрезке -- ровно по одному корню. Тем самым нам удалось отделить все три корня , и уравнения (и при этом установить, что их действительно три, а не меньше):

        Теорема 9.2   Если функция строго монотонна на отрезке , то есть возрастает или убывает на , то на этом отрезке уравнение не может иметь более одного корня.

Доказательство сразу следует из того, что строго монотонная функция принимает каждое своё значение ровно один раз. Если 0 является значением функции, то и значение 0 принимается один раз, то есть уравнение имеет один корень.     

Тем самым, если отрезок , на котором заведомо имеется хотя бы один корень (например, если и  -- разного знака), -- это отрезок строгой монотонности функции, то на отделён ровно один корень .

Заметим, что интервалы монотонности функции можно отыскивать, решая неравенства (что соответствует возрастанию функции) и (что соответствует убыванию).

        Пример 9.2   Рассмотрим уравнение . Для функции найдём производную . У этого квадратного трёхчлена отрицательный дискриминант: , поэтому сохраняет знак коэффициента при , то есть при всех . Следовательно, функция возрастает на всей оси и может иметь не более одного корня. Вычислим значения в точках и : . Это значения разных знаков, поэтому корень существует и отделён на отрезке .     

        Пример 9.3   Для функции найдём интервалы монотонности. Решим неравенство и получим:

На этих двух интервалах функция возрастает. Ясно, что на интервале

функция убывает. Найдём значения функции в точках экстремума:

Значит, на отрезке убывания отделён корень . Так как, очевидно, при и при , то имеются ещё два корня: и . Получили следующие отрезки, на которых отделены корни:

    

Далее мы будем предполагать, что функция меняет знак при переходе через корень . Это всегда так, если корень простой, то есть если .

• Вторая глава имеет чрезвычайно важный для всего дальнейшего смысл. Здесь мы вводим и подробно разбираем понятие предела. На этом понятии основан весь современный анализ. Поэтому понятие предела нужно понять и прочувствовать, решая примеры, так чтобы в дальнейшем ссылки на свойства пределов и на вычисление конкретных пределов не вызывали необходимости всё вновь и вновь начинать читать учебник с начала. Определенные интегралы Математика Примеры решения задач

  Понятие предела мы разбираем не только в частных случаях пределов числовых функций числового аргумента, но и в общем случае, давая определение предела произвольной функции по произвольной базе. Это понятие, понадобится, в частности, при изучении во втором семестре определённых интегралов.

  Третья глава посвящена изучению понятия непрерывности и точек разрыва числовых функций. Здесь изучаются свойства непрерывных функций, в том числе связанные с достаточно сложным понятием равномерной непрерывности. Многие утверждения этой главы являются базовыми для различных приложений, например, связанных с поиском корней уравнений и экстремумов функций.

  Если у Вас большие трудности со временем и Вы наглядно представляете себе, что такое непрерывная функция, то поначалу вы можете бегло ознакомиться с этой главой, возвращаясь к ней по мере надобности в дальнейшем, по мере появления ссылок на утверждения этой главы.