дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Упражнения и задачи

   Упражнение 7.12   Найти стационарные точки функций и исследовать их на наличие локального экстремума:

а) $ f(x)=x^3-4x+2$;

б) $ f(x)=\dfrac{x^2+4}{x+2}$;

в) $ f(x)=x^3\ln x$.

Ответы: а) $ -\frac{2}{\sqrt{3}}$ -- точка локального максимума; $ \frac{2}{\sqrt{3}}$ -- точка локального минимума;

б) $ -2-2\sqrt{2}$ -- точка локального максимума; $ -2+2\sqrt{2}$ -- точка локального минимума;

в) $ \dfrac{1}{\sqrt[3]{e}}$ -- точка локального минимума; точек локального максимума нет.     

        Упражнение 7.13   Найдите интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба функции

$\displaystyle f(x)=-x^4+4x^2-3.$

Подсказка:

Интервалы выпуклости задаются неравенством $ f''(x)>0$, а интервалы вогнутости -- неравенством $ f''(x)<0$.

Решение:

Найдём вторую производную:

$\displaystyle f'(x)=-4x^3+8x; f''(x)=-12x^2+8=4(-3x^2+2).$

Неравенство $ -3x^2+2>0$ имеет решение $ x\in(-\sqrt{\frac{2}{3}};\sqrt{\frac{2}{3}})$; на этом интервале функция выпукла. Неравенство $ -3x^2+2<0$ имеет решение $ x\in(-\infty;-\sqrt{\frac{2}{3}})\cup(\sqrt{\frac{2}{3}};+\infty)$; на этих двух интервалах функция вогнута.

В точках $ x=-\sqrt{\frac{2}{3}}$ и $ x=\sqrt{\frac{2}{3}}$ функция меняет направление выпуклости, так что эти точки являются точками перегиба.

Ответ:

Интервал выпуклости: $ (-\sqrt{\frac{2}{3}};\sqrt{\frac{2}{3}})$; интервалы вогнутости: $ (-\infty;-\sqrt{\frac{2}{3}})$ и $ (\sqrt{\frac{2}{3}};+\infty)$; точки перегиба: $ -\sqrt{\frac{2}{3}}$ и $ \sqrt{\frac{2}{3}}$.     

        Упражнение 7.14   Найдите интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба следующих функций:

а) $ f(x)=x^6-3x^4$;

б) $ f(x)=(x^2+1)e^x$;

в) $ f(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2-1}$.

Ответы: а) Интервалы выпуклости: $ (-\infty;-\sqrt{\frac{6}{5}})$ и $ (\sqrt{\frac{6}{5}};+\infty)$; интервал вогнутости: $ (-\sqrt{\frac{6}{5}};\sqrt{\frac{6}{5}})$; точки перегиба: $ -\sqrt{\frac{6}{5}}$ и $ \sqrt{\frac{6}{5}}$.

б) Интервалы выпуклости: $ (-\infty;-3)$ и $ (-1;+\infty)$; интервал вогнутости: $ (-3;-1)$; точки перегиба: $ -3$ и $ -1$.

в) Интервалы выпуклости: $ (-\infty;-1)$ и $ (1;+\infty)$; интервал вогнутости: $ (-1;-1)$; точек перегиба нет.     

        Упражнение 7.15   Проведите полное исследование функций и постройте их графики (в затруднительных случаях характерные точки можно находить приближённо):

а) $ f(x)=\dfrac{x^3}{3-x^2}$;

б) $ f(x)=x^2e^{-x^2}$;

в) $ f(x)=x-2\mathop{\rm arctg}\nolimits x$.

Ответы: а) Функция нечётная;

$\displaystyle \mathcal{D}(f)=(-\infty;-\sqrt{3})\cup(-\sqrt{3};\sqrt{3})\cup(\sqrt{3};+\infty);$

вертикальные асимптоты $ x=-\sqrt{3}$ и $ x=\sqrt{3}$, наклонная асимптота $ y=-x$. Точка локального максимума $ x=3$, при этом $ f_{\max}=-\dfrac{9}{2}$; точка локального минимума $ x=-3$, при этом $ f_{\min}=\dfrac{9}{2}$. Единственная точка перегиба $ x=0$.

Рис.7.52.График функции $ f(x)=\dfrac{x^3}{3-x^2}$


б) Функция чётная; $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$; горизонтальная асимптота $ y=0$. Точки локального максимума $ x=\pm1$; значение в этих точках $ f_{\max}=\dfrac{1}{e}$; точка локального минимума $ x=0$. Четыре точки перегиба: $ x=\pm\dfrac{\sqrt{5\pm\sqrt{17}}}{2}.$

Рис.7.53.График функции $ f(x)=x^2e^{-x^2}$


в) Функция нечётная; $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$; асимптоты $ y=x+\pi$ при $ x\to-\infty$ и $ y=x-\pi$ при $ x\to+\infty$. Точка локального максимума $ x=-1$, при этом $ f_{\max}=\dfrac{\pi}{2}-1$; точка локального минимума $ x=1$, при этом $ f_{\min}=1-\dfrac{\pi}{2}$. Единственная точка перегиба $ x=0$.

Рис.7.54.График функции $ f(x)=x-2\mathop{\rm arctg}\nolimits x$
    


  • Пределы
    • Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи Вычисление кратных интегралов Примеры решения и оформления задач контрольной работы
    • Общее определение предела
    • Замена переменного и преобразование базы при такой замене
    • Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства
    • Общие свойства пределов
    • Первый и второй замечательные пределы
    • Бесконечно большие величины и бесконечные пределы
    • Использование непрерывности функций при вычислении пределов
    • Сравнение бесконечно малых
    • Таблица эквивалентных бесконечно малых при
    • Упражнения на вычисление пределов

    Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования kindle fire;