дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Упражнения и задачи

        Упражнение 7.3   Найдите область определения и вертикальные асимптоты графика функции

$\displaystyle f(x)=\dfrac{x^3+2x^2-1}{x(x+1)(x-2)}.$

Подсказка:

Рассмотрите точки $ x$, в которых знаменатель обращается в 0. Внимание: в одной из этих точек вертикальной асимптоты нет, так как функция имеет устранимый разрыв.

Решение:

Область определения составляют все точки оси $ Ox$, кроме 0, $ -1$ и 2:

$\displaystyle \mathcal{D}(f)= \mathbb{R}\diagdown \{-1;0;2\}=(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;2)\cup(2;+\infty).$

Цветовые палитры и модели цвета Регистрация параметров ядерного взрыва Дифференциальные уравнения Системы передачи
информации

Заметим теперь, что при $ x=-1$ числитель также обращается в 0:

$\displaystyle (-1)^3+2(-1)^2-1=-1+2-1=0.$

Значит, многочлен, стоящий в числителе, делится нацело на $ x-(-1)=x+1$. Деление столбиком даёт:

$\displaystyle x^3+2x^2-1=(x+1)(x^2+x-1).$

Значит, при $ x\ne-1$ дробь $ f(x)$ можно сократить на $ x+1$:

$\displaystyle f(x)=\dfrac{(x+1)(x^2+x-1)}{x(x+1)(x-2)}= \dfrac{x^2+x-1}{x(x-2)},$

откуда видно, что при $ x\to-1$ функция стремится к $ \dfrac{(-1)^2+(-1)-1}{(-1)(-1-2)}=-\dfrac{1}{3},$ а не к $ \infty$.

При $ x$, равном двум другим корням знаменателя, 0 и 2, числитель в 0 не обращается, а равен $ -1$ и $ 15$ соответственно. Значит, при $ x\to0$ и при $ x\to2$ $ f(x)\to\infty$, и прямые $ x=0$ и $ x=2$ -- вертикальные асимптоты.

Ответ:

 

$\displaystyle \mathcal{D}(f)= \mathbb{R}\diagdown \{-1;0;2\}=(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;2)\cup(2;+\infty);$

вертикальные асимптоты: $ x=0$ и $ x=2$.     

        Упражнение 7.4   Найдите вертикальные асимптоты графиков функций:

а) $ f(x)=\dfrac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1};$

б) $ f(x)=\dfrac{x^3+1}{x^4-1}$;

в) $ f(x)=\dfrac{x^2-4x+3}{x^3-1}$.

Ответы: а) $ x=0$; б) $ x=1$; в) вертикальных асимптот нет.     

     

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;