дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Достаточные условия локального экстремума

        Теорема 7.8   Пусть функция $ f(x)$ имеет $ k$-ю производную в некоторой окрестности точки $ x_0$ и эта производная $ f^{(k)}(x)$ непрерывна в точке $ x_0$. Предположим, что

$\displaystyle f'(x_0)=0,\;f''(x_0)=0,\;\dots,\;f^{(k-1)}(x_0)=0,\;f^{(k)}(x_0)\ne0.$

Тогда, если число $ k$ -- нечётное, то в точке $ x_0$ функция $ f(x)$ не имеет локального экстремума; если же число $ k$ -- чётное, то при $ f^{(k)}(x_0)<0$ в точке $ x_0$ функция имеет локальный максимум, а при $ f^{(k)}(x_0)>0$ -- локальный минимум.

        Доказательство.     Для доказательства заметим, что если разложить $ f(x)$ по формуле Тейлора в точке $ x_0$ с остаточным членом в форме Лагранжа, то получим

$\displaystyle f(x)=f(x_0)+\dfrac{f^{(k)}(x_{{\theta}})}{k!}(x-x_0)^k$

(где $ x_{{\theta}}$ лежит между $ x$ и $ x_0$), поскольку слагаемые со степенями бинома $ x-x_0$, меньшими $ k$, имеют, по предположению, нулевые коэффициенты. Следовательно, приращение функции $ {\Delta}f=f(x)-f(x_0)$ можно представить в виде

$\displaystyle {\Delta}f=\dfrac{f^{(k)}(x_{{\theta}})}{k!}(x-x_0)^k.$

Поскольку $ f^{(k)}(x_0)\ne0$ и $ f^{(k)}(x)$ непрерывна в точке $ x_0$, то в некоторой окрестности точки $ x_0$ она сохраняет тот же знак, что у числа $ f^{(k)}(x_0)\ne0$, в частности, знак числа $ \dfrac{f^{(k)}(x_{{\theta}})}{k!}$ при $ x$, близких к $ x_0$, -- тот же, что у числа $ f^{(k)}(x_0)$.

Мы видим, что при нечётном $ k$ приращение $ {\Delta}f$ меняет знак при переходе через точку $ x_0$, поскольку меняет знак множитель $ (x-x_0)^k$ в правой части. Значит, в этом случае локального экстремума в точке $ x_0$ нет.

При чётном $ k$ этот множитель положителен при всех $ x\ne x_0$, следовательно, приращение $ {\Delta}f$ (при малых $ x-x_0\ne0$) имеет тот же знак, что и $ f^{(k)}(x_0)$: $ {\Delta}f<0$ при $ f^{(k)}(x_0)<0$ (неравенство $ {\Delta}f<0$ означает, что $ x_0$ -- точка локального максимума) и $ {\Delta}f>0$ при $ f^{(k)}(x_0)>0$ (неравенство $ {\Delta}f>0$ означает, что $ x_0$ -- точка локального минимума).     

        Замечание 7.6   Даже в этом усиленном виде ( теорема 7.8) достаточный признак экстремума, связанный со значениями производных высших порядков, не всегда отвечает на вопрос о том, есть ли локальный экстремум в стационарной точке. Дело в том, что, как мы видели выше, существуют такие функции, у которых все производные в некоторой точке $ x_0$ обращаются в 0, и тем не менее функция отлична от 0 всюду, кроме этой точки. Примером может служить функция, которую мы рассматривали в главе 6 (замечание 6.2):

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} e^{-\frac{1}{x^2}},&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right.$

Эта функция имеет стационарную точку $ x_0=0$, характер которой нельзя распознать, применив теорему 7.8, поскольку $ f^{(k)}(0)=0$ при всех $ k\in\mathbb{N}$. Однако очевидно, что $ f(x)>0$ при всех $ x\ne0$, так что $ x_0=0$ -- точка минимума функции $ f(x)$.

Кроме того, заметим, что может быть не выполнено предположение о непрерывности производной $ k$-го порядка в точке $ x_0$, даже если эта производная существует при всех $ x$. В качестве примера рассмотрите самостоятельно функцию

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^4\left(2+\sin\frac{1}{x}\right),&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right.$

Эта функция имеет минимум (равный 0) в точке $ x=0$. Производная этой функции существует при всех $ x$ и равна

$\displaystyle f'(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^2\left[4x\left(2+\sin\frac{1}{x... ...ac{1}{x}\right],&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right.$

Найдите и исследуйте вторую производную этой функции.     

 


  • Пределы
    • Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи Вычисление кратных интегралов Примеры решения и оформления задач контрольной работы
    • Общее определение предела
    • Замена переменного и преобразование базы при такой замене
    • Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства
    • Общие свойства пределов
    • Первый и второй замечательные пределы
    • Бесконечно большие величины и бесконечные пределы
    • Использование непрерывности функций при вычислении пределов
    • Сравнение бесконечно малых
    • Таблица эквивалентных бесконечно малых при
    • Упражнения на вычисление пределов

    Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;