дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые рядыchevrolet lacetti производство

Достаточные условия локального экстремума

В предыдущих примерах мы видели, что хотя необходимое условие не гарантировало наличие экстремума в критической точке, мы смогли исследовать поведение функции в окрестности этой точки и выяснить, имеется ли в ней экстремум и если да, то какого рода. Однако для выяснения этого нам пришлось иной раз прибегать к искусственным преобразованиям функции, которые во общем случае могут быть не очевидны или затруднительны. В данном разделе мы рассмотрим несколько общих теорем, позволяющих исследовать поведение функции в критической точке.

        Теорема 7.5   Пусть $ x_0$ -- критическая точка функции $ f(x)$. Если функция $ f(x)$ не убывает в некоторой левой окрестности $ E_-=(x_0-{\delta}_1;x_0)$ точки $ x_0$ и не возрастает в некоторой её правой окрестности $ E_+=(x_0;x_0+{\delta}_2)$, то точка $ x_0$ -- точка локального максимума.

Если же функция $ f(x)$ не возрастает в некоторой левой окрестности $ {E_-=(x_0-{\delta}_1;x_0)}$ и не убывает в некоторой правой окрестности $ {E_+=(x_0;x_0+{\delta}_2)}$, то точка $ x_0$ -- точка локального минимума.

        Доказательство.     Если $ f(x)$ не убывает в $ E_-$, то $ f(x_0)\geqslant f(x)$ при всех $ x\in E_-$, поскольку из непрерывности $ f(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0-}f(x)$. Точно так же, $ f(x_0)\geqslant f(x)$ при всех $ {x\in E_+}$. Выберем из чисел $ {\delta}_1$ и $ {\delta}_2$ наименьшее: $ {\delta}=\min\{{\delta}_1;{\delta}_2\}$ и рассмотрим симметричную окрестность $ {E=(x_0-{\delta};x_0+{\delta})}$. При $ x\in E$, очевидно, $ f(x)\leqslant f(x_0)$, то есть $ x_0$ -- точка локального максимума.

Вторая половина утверждения теоремы сводится к первой, если положить $ f_1(x)=-f(x)$ и заметить, что функция $ f_1$ не убывает в $ E_-$ и не возрастает в $ E_+$; локальный максимум функции $ f_1$ соответствует локальному минимуму функции $ f$.     

        Замечание 7.4   Найденное достаточное условие локального экстремума гарантирует наличие экстремума в точке $ x_0$. Однако оно не является необходимым: можно найти такую функцию $ f(x)$, которая имеет экстремум (например, минимум) в некоторой точке $ x_0$, однако не монотонна ни в какой левой окрестности и ни в какой правой окрестности этой точки. Примером может служить функция

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^2+x^2\sin^2\frac{1}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right. $

График этой функции зажат между двумя параболами $ y=x^2$ и $ y=2x^2$ и в окрестности точки 0 имеет бесконечно много промежутков монотонности, разделённых стационарными точками, так что $ f(x)$ не монотонна ни на каком интервале вида $ (-{\delta};0)$ или $ (0;{\delta})$. В точке 0 функция непрерывна (по теореме "о двух милиционерах") и имеет минимум, так как при всех $ x\ne0$ $ f(x)\geqslant x^2>0$.

Заметим кстати, что производная этой функции равна

$\displaystyle f'(x)=\left\{\begin{array}{ll} 2x+2x\sin^2\frac{1}{x}-\sin\frac{2}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right. $

Эта производная имеет в точке $ x=0$ разрыв второго рода.     

 

 

  • Пределы

    Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;