дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые рядыlacetti 1 4

Экстремум функции и необходимое условие экстремума

    Пример 7.19   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^4-2x^2+5$. Как и в предыдущем примере, производная существует при всех $ x\in\mathbb{R}$; она равна $ f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)$. Все критические точки функции -- стационарные; таких точек три: $ -1;0;1$.

Записав функцию в виде $ f(x)=(x^2-1)^2+4$, легко увидеть, что в точках $ x=\pm1$ функция имеет минимум, так как в этих точках выражение $ x^2-1$ обращается в 0, и

$\displaystyle f(x)=4+(x^2-1)^2\geqslant 4=f(\pm1).$

Если же мы запишем функцию в виде $ f(x)=5-x^2(4-x^2)$, то убедимся, что точка $ x=0$ -- точка локального максимума, поскольку при малых $ \vert x\vert$ выражение $ 4-x^2$ положительно, и

$\displaystyle f(x)=5-x^2(4-x^2)\leqslant 5=f(0).$

    

Рис.7.22.График функции $ y=x^4-2x^2+5$


        Пример 7.20   Рассмотрим функцию $ f(x)=\vert x\vert$. Производная этой функции существует при всех $ x$, кроме $ x=0$: при $ x>0$ $ f(x)=x$ и $ f'(x)=1\ne0$; при $ x<0$ $ f(x)=-x$ и $ f'(x)=-1\ne0$. Значит, единственная критическая точка -- та, в которой производная не существует, то есть $ x=0$. В этой точке, как легко видеть, $ f(x)$ имеет минимум.     

        Пример 7.21   Рассмотрим функцию

$\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x^2}=(x^2)^{\frac{1}{3}}.$

Заметим, что функция непрерывна при всех $ x\in\mathbb{R}$. Её производная равна

$\displaystyle f'(x)= \frac{1}{3}(x^2)^{-\frac{2}{3}}\cdot2x=\frac{2}{3}\vert x\vert^{-\frac{1}{3}}\mathop{\rm sign}\nolimits x\ne0$

при $ x\ne0$ и не существует при $ x=0$. Значит, единственная критическая точка функции -- это $ x=0$. Поскольку $ f(x)>0$ при $ x\ne0$ и $ f(0)=0$, то $ x=0$ -- точка минимума.     

Рис.7.23.График функции $ y=\sqrt[3]{x^2}$


Не следует думать, что любая критическая точка функции даёт либо локальный максимум, либо локальный минимум. В некоторых критических точках экстремума может не оказаться вовсе.

        Пример 7.22   Рассмотрим функцию $ f(x)=(\mathop{\rm arctg}\nolimits x)^3$. Её производная равна

$\displaystyle f'(x)=3(\mathop{\rm arctg}\nolimits x)^2\cdot\dfrac{1}{x^2+1},$

она существует при всех $ x\in\mathbb{R}$. Уравнение $ f'(x)=0$ имеет решение $ x=0$ -- это единственная критическая точка функции $ f$. Однако $ x=0$ не является точкой локального экстремума, поскольку $ f(x)<0$ при всех $ x<0$ и $ f(x)>0$ при всех $ x>0$.     

Рис.7.24.График функции $ y=(\mathop{\rm arctg}\nolimits x)^3$


Пусть требуется отыскать максимальное и минимальное значения функции $ f(x)$, непрерывной на замкнутом отрезке $ [a;b]$. Согласно сказанному выше, если точка экстремума (максимума либо минимума) -- это внутренняя точка отрезка, то эта точка обязана быть критической. Следовательно, точка экстремума $ f(x)$ на $ [a;b]$ -- это либо критическая точка, либо один из концов отрезка.

Отсюда следует такой способ поиска максимума и минимума функции на $ [a;b]$: надо найти список "подозрительных" точек, включив в него: а) концы отрезка, то есть точки $ a$ и $ b$; б) стационарные точки, то есть все решения уравнения $ f'(x)=0$; в) критические точки, не являющиеся стационарными, то есть те точки отрезка, в которых функция непрерывна, но производная $ f'(x)$ не существует. Как правило, в этот список "подозрительных" точек входит конечное число точек. Во всех этих точках можно вычислить значение функции; максимальное и минимальное значение функции на отрезке будут содержаться в этом наборе значений, и их можно будет легко отыскать, а заодно установить и те значения $ x$, при которых эти экстремальные значения достигаются.

        Пример 7.23   Найдём наибольшее и наименьшее значения функции

$\displaystyle f(x)=x^3+6x^2-15x-17$

на отрезке $ [-2;3]$.

Имеем: $ f'(x)=3x^2+12x-15=3(x^2+4x-5)$. Производная существует при всех $ x$, так что все критические точки функции являются стационарными, а стационарные точки задаются уравнением $ x^2+4x-5=0$. Это квадратное уравнение имеет корни $ x_1=-5$ и $ x_2=1$; первый корень не попадает на расматриваемый отрезок $ [-2;3]$, а второй попадает. Поэтому список "подозрительных" точек таков: $ -2;-1;3$ (оба конца отрезка и стационарная точка).

Вычисляем значения функции во всех точках списка:

$\displaystyle f(-2)=29; f(-1)=3; f(3)=19.$

Поэтому

$\displaystyle \min_{x\in[-2;3]}f(x)=f(-1)=3;\quad \max_{x\in[-2;3]}f(x)=f(-2)=29.$

 

    

Непрерывность функций и точки разрыва

Первая глава носит вводный характер и предназначена в основном для напоминания и повторения понятий, изученных в школе. Однако важное значение имеет вводимое здесь понятие произвольной функции (не обязательно числовой функции числового переменного).

Если у Вас затруднения со школьным материалом, касающимся элементарных функций и их свойств, непременно прочитайте вторую половину первой главы, где проводится достаточно подробный разбор тех функций, которые будут использоваться на протяжении всего изучения и применения математики. Эти функции и их свойства непременно надо хорошо усвоить, чтобы не испытывать далее затруднений в тех мелочах, которые далее часто будут предполагаться очевидными.

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;