дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Возрастание и убывание функции

   
    Теорема 7.3   Если дифференцируемая функция не убывает на интервале $ (a;b)$, то $ f'(x)\geqslant 0$ при всех $ x\in(a;b)$; если же функция не возрастает на $ (a;b)$, то $ f'(x)\leqslant 0$ при $ x\in(a;b)$.

        Доказательство.     Фиксируем точку $ x_0\in(a;b)$ и рассмотрим предел, который равен производной:

$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0+}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$

При достаточно малых $ h>0$ точка $ x_0+h$ попадёт в интервал $ (a;b)$, при этом $ x_0+h>x_0$, откуда $ f(x_0+h)\geqslant f(x_0)$. Значит, числитель неотрицателен, а знаменатель положителен, и дробь неотрицательна. По теореме о переходе к пределу в неравенстве, получаем $ f'(x_0)\geqslant 0$, что и требовалось получить.

Вторая часть утверждения теоремы доказывается аналогично.     

Заметим, что усилить утверждение теоремы нельзя: из того, что функция $ f(x)$ возрастает на $ (a;b)$ не следует строгого неравенства $ f'(x)>0$ для производной. Действительно, в этом нас убеждает простой пример:

        Пример 7.15   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^3$. Эта функция дифференцируема всюду и возрастает на всей оси $ \mathbb{R}$: из $ x_1<x_2$ следует, что $ x_1^3<x_2^3$. Однако неверно, что $ f'(x)>0$ при всех $ x\in\mathbb{R}$: действительно, производная $ f'(x)=3x^2$ обращается в 0 при $ x=0$.     

Итак, всё, что мы можем гарантировать в случае строгого возрастания (как и в случае нестрогого возрастания, то есть неубывания) -- это нестрогое неравенство $ f'(x)\geqslant 0$.

Практический смысл полученных утверждений о связи возрастания и убывания со знаком производной -- в том, что для того, чтобы найти интервалы возрастания функции $ f(x)$, надо решить относительно $ x$ неравенство $ f'(x)>0$, а чтобы найти интервалы убывания -- решить неравенство $ f'(x)<0$.

        Пример 7.16   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^2\ln x$. Её производная такова:

$\displaystyle f'(x)=2x\ln x+x^2\cdot\dfrac{1}{x}= x(2\ln x+1).$

Интервал возрастания функции можно найти из неравенства

$\displaystyle x(2\ln x+1)>0.$

При решении этого неравенства учтём, что в области определения функции $ x>0$, так что нужно решать неравенство $ 2\ln x+1>0$. Отсюда $ x>e^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{e}}$. Таким образом, функция $ f(x)$ возрастает на интервале $ (\dfrac{1}{\sqrt{e}};+\infty)$. Нетрудно видеть, что при $ x\in(0;\dfrac{1}{\sqrt{e}})$ выполняется обратное неравенство $ f'(x)<0$, так что на этом интервале функция убывает.     


Рис.7.17.График функции $ f(x)=x^2\ln x$


Если два интервала возрастания функции $ f(x)$ примыкают друг к другу, то есть имеют вид $ (a;b)$ и $ (b;c)$, и функция $ f(x)$ непрерывна в точке $ b$, то эти два смежных интервала можно объединить: функция будет возрастать на $ (a;c)$. То же, разумеется, относится и к смежным интервалам убывания функции.

Рис.7.18.Объединение двух смежных интервалов возрастания функции


        Пример 7.17   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^3e^x$. Её производная имеет вид

$\displaystyle f'(x)=3x^2e^x+x^3e^x=x^2e^x(3+x).$

Решая неравенство $ f'(x)>0$, получаем: $ x\in(-3;0)\cup(0;+\infty)$; при $ x=0$ функция, очевидно, непрерывна, так что $ f(x)$ возрастает на объединённом интервале, то есть при $ x\in(-3;+\infty)$. Решение неравенства $ f'(x)<0$ даёт только один интервал $ (-\infty;-3)$; на нём функция убывает.     

Рис.7.19.График функции $ f(x)=x^3e^x$


Геометрический смысл связи знака производной с направлением изменения функции легко виден из геометрического смысла производной: если угловой коэффициент касательной к графику $ y=f(x)$ (равный производной) положителен, то угол наклона касательной -- острый, что соответствует графику возрастающей функции. Если же угловой коэффициент отрицателен, то угол наклона касательной -- тупой, и тогда функция убывает.

Рис.7.20.Связь угла наклона касательной с направлением изменения функции

    

Непрерывность функций и точки разрыва

Первая глава носит вводный характер и предназначена в основном для напоминания и повторения понятий, изученных в школе. Однако важное значение имеет вводимое здесь понятие произвольной функции (не обязательно числовой функции числового переменного).

Если у Вас затруднения со школьным материалом, касающимся элементарных функций и их свойств, непременно прочитайте вторую половину первой главы, где проводится достаточно подробный разбор тех функций, которые будут использоваться на протяжении всего изучения и применения математики. Эти функции и их свойства непременно надо хорошо усвоить, чтобы не испытывать далее затруднений в тех мелочах, которые далее часто будут предполагаться очевидными.

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;