дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Возрастание и убывание функции

Возрастание и убывание дифференцируемой функции связано со знаком её производной. Напомним, что функция $ f(x)$ называется возрастающей на интервале $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$, если для любых двух точек $ x_1,x_2\in(a;b)$ из неравенства $ x_1<x_2$ следует, что $ f(x_1)<f(x_2)$; убывающей на интервале $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$, если из неравенства $ x_1<x_2$ следует, что $ f(x_1)>f(x_2)$; невозрастающей на интервале $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$, если из неравенства $ x_1<x_2$ следует, что $ f(x_1)\geqslant f(x_2)$, и неубывающей на интервале $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$, если из неравенства $ x_1<x_2$ следует, что $ f(x_1)\leqslant f(x_2)$.

Рис.7.15.Графики возрастающей, убывающей, невозрастающей и неубывающей функций


Очевидно, что функция $ f(x)$ возрастает тогда и только тогда, когда убывает функция $ g(x)=-f(x)$; аналогичное утверждение связывает неубывающую функцию с невозрастающей.

Рис.7.16.Графики функций $ f(x)$ и $ g(x)=-f(x)$


        Теорема 7.2   Пусть функция $ f(x)$ дифференцируема на интервале $ (a;b)$ и $ {f'(x)>0}$ при всех $ x\in(a;b)$. Тогда $ f(x)$ возрастает на $ (a;b)$. Если же $ f'(x)\geqslant 0$ при всех $ x\in(a;b)$, то $ f(x)$ не убывает на $ (a;b)$.

Аналогично, если $ f'(x)<0$ при всех $ x\in(a;b)$, то $ f(x)$ убывает на $ (a;b)$, а если $ f'(x)\leqslant 0$ при всех $ x\in(a;b)$, то $ f(x)$ не возрастает на $ (a;b)$.

        Доказательство.     В силу предыдущего замечания, теорему достаточно доказывать только для случаев $ f'(x)>0$ и $ f'(x)\geqslant 0$. Пусть $ f'(x)>0$ при всех $ x\in(a;b)$ и $ x_1,x_2\in(a;b)$, $ x_1<x_2$. Применим к отрезку $ [x_1;x_2]$ формулу конечных приращений:

$\displaystyle f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1),$

где $ c\in(a;b)$. В правой части $ f'(c)>0$ и $ x_2-x_1>0$, так что $ f(x_2)-f(x_1)>0$, откуда $ f(x_1)<f(x_2)$, что означает возрастание функции.

Точно так же, если $ f'(x)\geqslant 0$, то получаем $ f(x_2)-f(x_1)\geqslant 0$, откуда $ f(x_1)\leqslant f(x_2)$, что означает неубывание функции.     

Имеет место и утверждение, "почти обратное" к предыдущей теореме:

    

Непрерывность функций и точки разрыва

Первая глава носит вводный характер и предназначена в основном для напоминания и повторения понятий, изученных в школе. Однако важное значение имеет вводимое здесь понятие произвольной функции (не обязательно числовой функции числового переменного).

Если у Вас затруднения со школьным материалом, касающимся элементарных функций и их свойств, непременно прочитайте вторую половину первой главы, где проводится достаточно подробный разбор тех функций, которые будут использоваться на протяжении всего изучения и применения математики. Эти функции и их свойства непременно надо хорошо усвоить, чтобы не испытывать далее затруднений в тех мелочах, которые далее часто будут предполагаться очевидными.

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования На http://www.stroyinfra.ru штукатурка декоративная боларс, ремонт бетона.;Компания Гараж - оперативные запчасти опель для автомобилей.;Детское постельное белье. Интернет магазин товаров для детей.;Потому.ру - детский портал;