дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Асимптоты графика функции

     Пример 7.12   Рассмотрим функцию $ f(x)=2\sqrt{x^2+x+1}-x$. Покажем, что обе её наклонные асимптоты существуют, но не совпадают друг с другом.

Сначала найдём асимптоту $ y=kx+b$ при $ x\to+\infty$. Согласно доказанной теореме, имеем:

$\displaystyle k=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2\sqrt{x^2+x+1}-x}{x}= \lim_{x\to+\infty}(2\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-1)=2-1=1;$

\begin{multline*} b=\lim_{x\to+\infty}[(2\sqrt{x^2+x+1}-x)-x]= 2\lim_{x\to+\in... ...}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+1}= 2\cdot\frac{1}{2}=1. \end{multline*}

Таким образом, при $ x\to+\infty$ наклонной асимптотой служит прямая $ y=x+1$.

Теперь найдём асимптоту при $ x\to-\infty$. Имеем:

$\displaystyle k=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{2\sqrt{x^2+x+1}-x}{x}= \lim_{x\to-\infty}(2\dfrac{\sqrt{x^2+x+1}}{x}-1).$

Поскольку $ x\to-\infty$, мы можем считать, что в допредельном выражении $ x<0$. В полученной дроби поделим числитель и знаменатель на положительное число $ (-x)$. Тогда под корнем нужно будет поделить на $ (-x)^2=x^2$, и получится:

$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}(2\dfrac{\sqrt{x^2+x+1}}{x}-1)= \lim_{x\to-\infty}(-2\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-1)=-2-1=-3.$

Вычисление $ b$ проведите сами в качестве упражнения. При этом получается $ b=-1$, так что наклонная асимптота при $ x\to-\infty$ имеет уравнение $ y=-3x-1$.     

Рис.7.13.График $ y=2\sqrt{x^2+x+1}-x$ и его две наклонных асимптоты


        Замечание 7.3   Если график $ y=f(x)$ имеет асимптоту $ y=kx+b$ (например, при $ x\to+\infty$) и существует предел производной:

$\displaystyle l=\lim_{x\to+\infty}f'(x),$

то $ k=l$. Иными словами, если угловой коэффициент касательной имеет предел, то этот предел равен угловому коэффициенту асимптоты17.

Однако асимптота может существовать и в случае, когда производная $ f'(x)$ не имеет никакого предела при $ x\to+\infty$. Дело в том, что значения $ f(x)$ могут совершать мелкие, но частые колебания относительно ординаты асимптоты, так что значения производной могут при этом испытывать незатухающие колебания. Проиллюстрируем эту возможность следующим примером.     

        Пример 7.13   Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{1}{x}\sin x^2+x$. Очевидно, что прямая $ y=x$ -- это асимптота графика $ y=f(x)$ при $ x\to+\infty$, так как первое слагаемое имеет предел, равный 0, при $ x\to+\infty$. Однако вычисление производной даёт

$\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{1}{x^2}\sin x^2+2\sin x^2,$

а эта функция при росте $ x$ совершает колебания, причём при больших $ x$ второе слагаемое становится пренебрежимо малым, и значения $ f'(x)$ колеблются примерно между $ -1$ и 3. Следовательно, производная не имеет предела при $ x\to+\infty$.

Если же рассмотреть функцию $ f(x)=\dfrac{1}{x}\sin x^3+x$, то её производная оказывается даже неограниченной на любом луче вида

   

Непрерывность функций и точки разрыва

  • Определение непрерывности функции
  • Определение точек разрыва Вычислим объем шара Примеры решения и оформления задач контрольной работы
  • Свойства функций, непрерывных в точке
  • Непрерывность функции на интервале и на отрезке
  • Равномерная непрерывность
  • Непрерывность обратной функции
  • Гиперболические функции и ареа-функции
  • Примеры и упражнения

Первая глава носит вводный характер и предназначена в основном для напоминания и повторения понятий, изученных в школе. Однако важное значение имеет вводимое здесь понятие произвольной функции (не обязательно числовой функции числового переменного).

Если у Вас затруднения со школьным материалом, касающимся элементарных функций и их свойств, непременно прочитайте вторую половину первой главы, где проводится достаточно подробный разбор тех функций, которые будут использоваться на протяжении всего изучения и применения математики. Эти функции и их свойства непременно надо хорошо усвоить, чтобы не испытывать далее затруднений в тех мелочах, которые далее часто будут предполагаться очевидными.

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;