дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Формула Тейлора для некоторых элементарных функций

3. Для функции $ f(x)=\cos x$ производные также чередуются с циклом длины 4, как и для синуса. Значения в точке $ x_0=0$ имеют то же чередование:

$\displaystyle f(0)=\cos0=1,\;f'(0)=-\sin0=0,\;f''(0)=-\cos0=-1,\;f'''(0)=\sin0=0,$    
$\displaystyle f^{(4)}(0)=\cos0=1,\dots$    

Нетрудно видеть, что $ f^{(n)}(0)=0$ при $ n=2k-1$, $ k=1,2,3,\dots,$ и $ f^{(n)}(0)=(-1)^k$ при $ n=2k$, $ k=0,1,2,\dots$. Поэтому разложение косинуса по формуле Тейлора имеет вид

$\displaystyle \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots+ (-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+R_{2k+1}(x).$

Здесь мы также считаем, что последним в многочлене Тейлора выписано слагаемое, содержащее $ x^{2k+1}$ с нулевым коэффициентом.

        Упражнение 6.1   Найдите формулу для производной произвольного порядка от функции $ f(x)=\ln(1+x)$. Вычислите значения этих производных при $ x_0=0$ и коэффициенты Тейлора. Покажите, что имеет место разложение

$\displaystyle \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\ldots+ (1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+R_n(x).$

    

        Упражнение 6.2   Найдите формулу для производной произвольного порядка от функции $ f(x)=(1+x)^{{\alpha}}$ при фиксированном $ {\alpha}\in\mathbb{R}$. Вычислите значения этих производных при $ x_0=0$ и коэффициенты Тейлора. Покажите, что имеет место разложение

$\displaystyle (1+x)^{{\alpha}}=1+{\alpha}x+\frac{{\alpha}({\alpha}-1)}{1\cdot2}... ...alpha}({\alpha}-1)\ldots({\alpha}-n+1)}{1\cdot2\cdot\ldots\cdot n}x^n+ R_n(x).$

    

        Упражнение 6.3   Покажите, что разложения по формуле Тейлора для функций $ \mathop{\rm sh}\nolimits x$ и $ \mathop{\rm ch}\nolimits x$ выглядят так:

$\displaystyle \mathop{\rm sh}\nolimits x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\ldots+ \dfrac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}+R_{2k}(x)$

и

$\displaystyle \mathop{\rm ch}\nolimits x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\ldots+ \frac{x^{2k}}{(2k)!}+R_{2k+1}(x).$

Сравните найденные разложения с разложениями для $ \sin x$, $ \cos x$ и $ e^x$.     

На основе полученных разложений можно получать и разложения многих других функций.

        Пример 6.1   Рассмотрим функцию $ f(x)=xe^{x^2}$. Найдём её разложение по формуле Тейлора в точке $ x_0=0$. Начнём с того, что напишем ранее найденное разложение для экспоненты,

$\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\ldots+\frac{z^n}{n!}+R_n(z),$

и положим в нём $ z=x^2$:

$\displaystyle e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\ldots+\frac{x^{2n}}{n!}+R_n(x^2). $

Теперь умножим левую и правую части этой формулы на $ x$:

$\displaystyle xe^{x^2}=x+x^3+\frac{x^5}{2!}+\frac{x^7}{3!}+\ldots+\frac{x^{2n+1}}{n!} +xR_n(x^2).$

Заметим, что бесконечно малое при $ x\to0$ выражение $ \tilde R(x)=xR_n(x^2)$ имеет тот же или больший порядок малости, как $ x^{2(n+1)+1}=x^{2n+3}$, и поэтому может рассматриваться как остаточный член $ R_{2n+2}(x)$ в формуле Тейлора для $ f(x)$, а предыдущие слагаемые в правой части формулы -- как многочлен Тейлора данной функции. Так что её искомое разложение найдено.     

Разберём теперь пример того, как полученные разложения элементарных функций можно использовать для раскрытия некоторых неопределённостей.

        Пример 6.2   Найдём предел

$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{\sqrt{1-x}-\cos\sqrt{x}}.$

Для начала найдём разложение по формуле Тейлора в точке 0 для числителя:

$\displaystyle e^x-1-x=-1-x+1+x+\frac{x^2}{2}+r_3(x)= \frac{x^2}{2}+r_3(x),$

где через $ r_3(x)$ обозначен остаточный член, имеющий тот же порядок малости, что и $ x^3$. Разложение для знаменателя имеет вид:

$\displaystyle \sqrt{1-x}-\cos\sqrt{x}=(1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+s_3(x))- (1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{24}+t_3(x)),$

где остаточные члены $ s_3(x)$ и $ t_3(x)$ тоже имеют тот же порядок малости, что и $ x^3$, при $ x\to0$. Выполняя приведение подобных членов, получаем, что знаменатель равен

$\displaystyle -(\frac{1}{8}+\frac{1}{24})x^2+s_3(x)-t_3(x).$

Итак,

$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{\sqrt{1-x}-\cos\sqrt{x}}= \lim_{x\to0}\dfrac{\frac{x^2}{2}+r_3(x)} {-(\frac{1}{8}+\frac{1}{24})x^2+s_3(x)-t_3(x)}=$    
$\displaystyle =\lim_{x\to0}\dfrac{\frac{1}{2}+\frac{r_3(x)}{x^2}} {-(\frac{1}{... ...rac{s_3(x)-t_3(x)}{x^2}}= \dfrac{\frac{1}{2}}{-(\frac{1}{8}+\frac{1}{24})}=-3.$    

    

Заметим, что этот способ раскрытия неопределённостей типа $ \left[\dfrac{0}{0}\right]$ в некоторых случаях, подобных разобранному в примере, менее трудоёмок, чем применение правила Лопиталя.

 

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;