дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Остаток в формуле Тейлора и его оценка

Разность между функцией $ f(x)$ и её многочленом Тейлора называется $ n$-м остатком, или $ n$-м остаточным членом; обозначим этот остаток через $ R_n(x)$:

$\displaystyle R_n(x)=f(x)-P(x).$

Формула $ f(x)=P(x)+R_n(x)$, в более развёрнутой форме имеющая вид

$\displaystyle f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\ldots+ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x),$

называется формулой Тейлора для функции $ f(x)$ в точке $ x_0$, а представление функции $ f(x)$ в таком виде -- её разложением по формуле Тейлора.

Если считать, что остаток $ R_n(x)$ мал, то его можно отбросить без большой погрешности; при этом получается приближённая формула

$\displaystyle f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\ldots+ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n,$

дающая возможность для приближённого нахождения значений функции $ f(x)$.

Выясним, в каком смысле можно понимать "малость" остатка $ R_n(x)$ в формуле Тейлора, чтобы этой приближённой формулой мы могли пользоваться осмысленно.

Цветовые палитры и модели цвета Регистрация параметров ядерного взрыва Дифференциальные уравнения Системы передачи
информации

        Теорема 6.1 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано)   Пусть $ R_n(x)$ -- остаток в формуле Тейлора для функции $ f(x)$ в точке $ x_0$, и функция $ f(x)$ имеет непрерывную $ (n+1)$-ю производную. Тогда $ R_n(x)$ -- бесконечно малая величина того же или большего порядка малости, как $ (x-x_0)^{n+1}$, при $ x\to x_0$. (Остаточный член $ R_n(x)$, о котором известны эти сведения о порядке малости, называется остаточным членом в форме Пеано.)

        Доказательство.     Утверждение теоремы означает, что существует

$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{R_n(x)}{(x-x_0)^{n+1}}=L.$

При $ L\ne0$ остаток $ R_n(x)$ будет иметь тот же порядок малости, что $ (x-x_0)^{n+1}$, а при $ L=0$ -- больший порядок малости. Итак, вычислим предел:

$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{R_n(x)}{(x-x_0)^{n+1}}= \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-P(x)}{(x-x_0)^{n+1}}=$   
$\displaystyle =\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{ f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)-\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2-\ldots- \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n}{(x-x_0)^{n+1}}.$   

Применим к этому пределу правило Лопиталя, повторив этот приём $ n$ раз:

$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{ f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)-\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2-\ldots- \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n}{(x-x_0)^{n+1}}=$   
$\displaystyle =\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{ f'(x)-f'(x_0)-f''(x_0)(x-x_0)-\ldots- \frac{f^{(n)}(x_0)}{(n-1)!}(x-x_0)^{n-1}}{(n+1)(x-x_0)^n}=$   
$\displaystyle =\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{ f''(x)-f''(x_0)-f'''(x_0)(x-x_0)-\ldots- \frac{f^{(n)}(x_0)}{(n-2)!}(x-x_0)^{n-2}}{(n+1)n(x-x_0)^{n-1}}=$   
$\displaystyle =\ldots=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{ f^{(n)}(x)-f^{(n)}(x_0)}{(n+1)n(n-1)\ldots2(x-x_0)}=$   
$\displaystyle =\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{ f^{(n+1)}(x)}{(n+1)n(n-1)\ldots2\cdot1}= \dfrac{f^{(n+1)}(x_0)}{(n+1)n(n-1)\ldots2\cdot1}=L.$   

Последний предел мы вычислили прямой подстановкой, поскольку по предположению $ f^{(n+1)}(x)$ -- непрерывная функция. Существование предела доказывает утверждение теоремы.     

Доказанная теорема утверждает, что при малых отклонениях от $ x_0$ значения $ P(x)$ будут отклоняться от $ f(x)$ не более чем на величину $ (n+1)$-го порядка малости относительно разности $ x-x_0$, что даёт нам уверенность в том, что замена $ f(x)$ на многочлен Тейлора $ P(x)$ будет давать очень хорошее приближение, и это приближение будет улучшаться, если мы будем увеличивать значения $ n$. Однако доказанная теорема не даёт нам оценки остатка $ R_n(x)$. Этот пробел устраняет следующая теорема.

       

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;