дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Сравнение бесконечно больших величин

Пусть $ \mathcal{B}$ -- некоторая база, и $ f(x)$ и $ g(x)$ -- функции, заданные на некотором окончании этой базы. В главе 2 мы изучали сравнение функций $ f(x)$ и $ g(x)$ при базе $ \mathcal{B}$ в случае, когда они является бесконечно малыми. Здесь же мы изучим сравнение бесконечно больших $ f(x)$ и $ g(x)$.

        Определение 5.1   Пусть $ f(x),g(x)$ -- бесконечно большие величины при базе $ \mathcal{B}$. Они имеют один и тот же порядок роста при базе $ \mathcal{B}$, если существует предел

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=L\ne0.$

То, что $ f(x)$ и $ g(x)$ имеют один и тот же порядок роста, обозначим так:

$\displaystyle f(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}g(x).$

Если при этом $ L=1$, то бесконечно большие $ f(x)$ и $ g(x)$ называются эквивалентными при базе $ \mathcal{B}$; это обозначается так:

$\displaystyle f(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}g(x).$

Если

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=0,$

то величина $ f(x)$ имеет меньший порядок роста при базе $ \mathcal{B}$, чем величина $ g(x)$. Этот факт записывается так:

$\displaystyle f(x)\mathrel{\mathop{\prec}\limits_{\mathcal{B}}}g(x).$

Цветовые палитры и модели цвета Регистрация параметров ядерного взрыва Дифференциальные уравнения Системы передачи
информации

Наконец, если при некотором $ k>0$ имеет место соотношение

$\displaystyle f(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}(g(x))^k,$

то будем говорить, что величина $ f(x)$ имеет порядок роста, равный $ k$, относительно величины $ g(x)$.     

        Пример 5.7   При $ {x\to+\infty}$ величины $ {f_1(x)=\sqrt{x}}$, $ {f_2(x)=x}$ , $ {f_3(x)=x^3}$, $ {f_4(x)=x^3+\sin x}$, $ {f_5(x)=3x^3+x^2+1}$, $ {f_6(x)=x^4+1}$ -- бесконечно большие. При этом $ {f_4(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{}}f_3(x)}$, $ {f_5(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{}}f_3(x)}$, $ {f_1(x)\mathrel{\mathop{\prec}\limits_{}}f_2(x)}$, $ {f_2(x)\mathrel{\mathop{\prec}\limits_{}}f_3(x)}$, $ {f_4(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{}}f_3(x)}$, $ f_1(x)$ имеет порядок $ \frac{1}{2}$ относительно $ f_2(x)$, $ f_3(x)$ имеет порядок 3 относительно $ f_2(x)$ и порядок 6 относительно $ f_1(x)$, $ f_6(x)$ имеет порядок 4 относительно $ f_2(x)$ и порядок $ \frac{4}{3}$ относительно $ f_3(x)$.

В качестве простого упражнения докажите упомянутые соотношения; легко увидеть между функциями $ f_i(x)$, $ i=1,\dots,6$ также много других соотношений.     

     

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;