дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Правило Лопиталя

 

   Замечание 5.7   Немного изменив доказательство, мы получим, что правило Лопиталя для отношения двух бесконечно больших верно для односторонних пределов (при базах $ x\to x_0-$ и $ x\to x_0+$); сделав замену $ z=\frac{1}{x}$, выведем, что оно верно для пределов при базах $ x\to\infty$, $ x\to+\infty$ и $ x\to-\infty$ (аналогично тому, как теорема 5.6 была выведена из теоремы 5.5).     

        Замечание 5.8   Как и в основном случае отношения двух бесконечно малых при $ x\to x_0$, все остальные варианты правила Лопиталя не универсальны: если предел отношения производных не существует, то это ещё не означает, что нет предела отношения исходных величин.     

Приведём ещё один пример, иллюстрирующий это важное замечание.

        Пример 5.5   Рассмотрим при $ x\to\infty$ две бесконечно больших: $ f(x)=x+\sin x$ и $ g(x)=x$. Предел их отношения, очевидно, существует:

$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{x+\sin x}{x}= \lim_{x\to\infty}(1+\dfrac{1}{x}\cdot\sin x)=1+0=1;$

в то же время отношение производных даёт

$\displaystyle \dfrac{(x+\sin x)'}{x'}=\dfrac{1+\cos x}{1}=1+\cos x,$

а эта функция не имеет никакого предела при $ x\to\infty$. Следовательно, для вычисления предела

$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{x+\sin x}{x}$

правило Лопиталя неприменимо.     

Несмотря на свою неуниверсальность, правило Лопиталя служит весьма мощным средством нахождения сложных пределов. При этом иной раз приходится применять это правило много раз подряд, пока не получим предел, значение которого либо очевидно, либо может быть вычислено каким-либо способом, изученным нами ранее (например, с помощью замены на эквивалентные бесконечно малые).

        Пример 5.6   Найдём предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x-x}{x^3}$. (Это предел отношения двух бесконечно малых. Заметим, что $ \sin x$ не является множителем, так что его нельзя заменить на эквивалентную величину $ x$; если бы мы всё же сделали это, то сразу получили бы в числителе 0, и "ответ" равнялся бы 0.) Применим правило Лопиталя и получим, что

$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x-x}{x^3}= \lim\limits_{x\to0}\dfrac{(\sin x-x)'}{(x^3)'}= \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\cos x-1}{3x^2},$

в предположении, что последний предел существует. Этот последний предел можно найти, заметив, что $ \cos x-1\sim-\dfrac{x^2}{2}$ при $ x\to0$, и заменив числитель. Однако можно пойти и другим путём. Мы снова получили отношение двух бесконечно малых, к которому снова применим правило Лопиталя:

$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\cos x-1}{3x^2}= \lim\limits_{x\to0}\d... ...c{-\sin x}{6x}= -\frac{1}{6}\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=-\frac{1}{6},$

поскольку $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ (это первый замечательный предел).

Итак, обоснование результата таково:

$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{(\cos x-1)'}{(3x^2)'}= \lim\limits_{x\to0}\dfrac{-\sin x}{6x}= -\frac{1}{6},$

откуда по теореме 5.5

$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\cos x-1}{3x^2}=-\frac{1}{6},$

то есть

$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{(\sin x-x)'}{(x^3)'}=-\frac{1}{6},$

откуда, в свою очередь, снова по теореме 5.5

$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x-x}{x^3}=-\frac{1}{6}.$

Как правило, при вычислениях эти рассуждения "обратного хода" не приводят в явной форме для экономии места, но, строго говоря, их всегда нужно иметь в виду, когда после цепочки переходов по правилу Лопиталя мы получаем какой-либо ответ к исходному примеру на вычисление предела.     

  

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;