дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Правило Лопиталя

На основе теоремы Коши мы выведем правило, которое даст нам мощный способ вычисления пределов отношений двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин. Сформулируем его сначала для отношения бесконечно малых.

        Теорема 5.5 (Правило Лопиталя)   Пусть функции $ f(x)$ и $ g(x)$ непрерывны в некоторой окрестности $ E$ точки $ x_0$ и $ f(x_0)=g(x_0)=0$, то есть $ f(x)\to0$ и $ g(x)\to0$ при $ x\to x_0$. Предположим, что при $ x\in E,\;x\ne x_0$ функции $ f(x)$ и $ g(x)$ имеют производные $ f'(x)$ и $ g'(x)$, причём существует предел отношения этих производных:

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=L.$

Тогда предел отношения самих функций $ f(x)$ и $ g(x)$ тоже существует и равен тому же числу $ L$:

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=L.$

        Доказательство.     Заметим, что из условия $ \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=L$ следует, что оба односторонних предела также равны $ L$:

$\displaystyle \lim_{x\to x_0+}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=L$ и $\displaystyle \lim_{x\to x_0-}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=L.$

Пусть $ x_1\in E$, $ x_1>x_0$. По теореме Коши, применённой к отрезку $ [x_0;x_1]$, получим тогда, с учётом того, что $ f(x_0)=0,\; g(x_0)=0$,

$\displaystyle \dfrac{f(x_1)}{g(x_1)}=\dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{g(x_1)-g(x_0)}= \dfrac{f'(x^*)}{g'(x^*)},$

Цветовые палитры и модели цвета Регистрация параметров ядерного взрыва Дифференциальные уравнения Системы передачи
информации

где $ x^*\in(x_0;x_1)$. Перейдём теперь в этом равенстве к пределу при $ x_1\to x_0+$:

$\displaystyle \lim_{x_1\to x_0+}\dfrac{f(x_1)}{g(x_1)}= \lim_{x^*\to x_0+}\dfrac{f'(x^*)}{g'(x^*)}=L,$

так как, очевидно, при $ x_1\to x_0+$ имеем также $ x^*\to x_0+$. Теперь возьмём точку $ {x_2\in E}$, $ {x_2<x_0}$ и применим теорему Коши к отрезку $ [x_2;x_0]$. Получим

$\displaystyle \dfrac{f(x_2)}{g(x_2)}=\dfrac{f(x_0)-f(x_2)}{g(x_0)-g(x_2)}= \dfrac{f'(x^{**})}{g'(x^{**})},$

где $ x^{**}\in(x_2;x_0)$. Переходя к пределу при $ x_2\to x_0-$ , получаем

$\displaystyle \lim_{x_2\to x_0-}\dfrac{f(x_2)}{g(x_2)}= \lim_{x^{**}\to x_0-}\dfrac{f'(x^{**})}{g'(x^{**})}=L,$

так как при $ x_2\to x_0-$ имеем $ x^{**}\to x_0-$.

Итак, оба односторонних предела отношения $ \dfrac{f(x)}{g(x)}$ равны $ L$. На основании теоремы о связи односторонних пределов с двусторонним получаем, что

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=L.$

    

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;