дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Примеры и упражнения

     Пример 4.28   Найдём вторую производную функции $ y=x^2e^{-2x}$.

Сначала найдём первую производную:

$\displaystyle y'=(x^2e^{-2x})'=(x^2)'e^{-2x}+x^2(e^{-2x})'=2xe^{-2x}+x^2e^{-2x}\cdot(-2)= (2x-x^3)e^{-2x}.$

Затем отыщем вторую производную как производную от первой производной:

\begin{multline*} y''=(y')'=(2x-x^3)'e^{-2x}+(2x-x^3)(e^{-2x})'=\\ (2-3x^2)e^{-2x}+(2x-x^3)e^{-2x}(-2)=(2-3x^2-4x+2x^3)e^{-2x}. \end{multline*}

Ответ: $ y''=(2x^3-3x^2-4x+2)e^{-2x}$.     

        Пример 4.29   Найдём производную функции $ y(x)$, заданной параметрически:

$\displaystyle x=e^t+1; y=e^{2t}-1.$

Найдём сначала производные от $ x$ и $ y$ по переменной $ t$:

$\displaystyle x'_t=e^t,\quad y'_t=e^{2t}\cdot2=2e^{2t}.$

Затем найдём $ y'_x$ по формуле $ y'_x=\dfrac{y'_t}{x'_t}$:

$\displaystyle y'_x=\dfrac{2e^{2t}}{e^t}=2e^t.$

Заметим, что $ 2e^t=2(x-1)$, так что можно получить явное выражение $ y'_x$ через $ x$:

$\displaystyle y'_x=2(x-1).$

(Это не удивительно, поскольку легко было заметить с самого начала, что $ y=(x-1)^2-1$, откуда $ y'=2(x-1)-0=2(x-1)$.)

Ответ: $ y'_x=2e^t=2(x-1).$     

        Пример 4.30   Найдём вторую производную $ y''_{xx}$ функции, заданной параметрически:

$\displaystyle x=\sin t^3;\; y=\cos t^2.$

Найдём сначала первую производную как функцию параметра $ t$ по формуле $ y'_x=\dfrac{y'_t}{x'_t}$:

$\displaystyle y'_x=\dfrac{-\sin t^2\cdot2t} {\cos t^3\cdot3t^2}= -\dfrac{2\sin t^2}{3t\cos t^3}.$

Теперь положим $ z=y'_x$ и найдём производную от функции $ x=\sin t^3;\; z=-\dfrac{2\sin t^2}{3t\cos t^3},$ заданной параметрически. Имеем: $ x'_t=\cos t^3\cdot3t^2$ (эта производная была найдена нами раньше, при вычислении $ y'_x$) и

$\displaystyle z'_t=-\dfrac{(4t\cos t^2)(3t\cos t^3)-(2\sin t^2)(3\cos t^3-9t^3\sin t^3)}% {9t^2\cos^2t^3}.$

Поэтому

\begin{multline*} y''_{xx}=z'_x=\dfrac{z'_t}{x'_t}= -\dfrac{(4t\cos t^2)(3t\co... ...^3-6\sin t^2\cos t^3+18t^3\sin t^2\sin t^3}% {27t^4\cos^3t^3}. \end{multline*}

Тот же самый результат можно было бы получить по формуле (4.17).     

        Пример 4.31   Зависимость между $ x$ и $ y$ задана формулой

$\displaystyle x^3y+xy^2+y^3-3x+5y+3=0.$

Найдём производную $ y'_x$.

Продифференцируем обе части равенства по $ x$, считая при этом $ y$ промежуточной переменной, зависящей от $ x$:

$\displaystyle 3x^2y+x^3y'_x+y^2+x\cdot2yy'_x+3y^2y'_x-3+5y'_x=0.$

Оставим в левой части слагаемые, содержащие $ y'_x$, а остальные перенесём в правую часть:

$\displaystyle y'_x(x^3+2xy+3y^2+5)=-3x^2y-y^2+3,$

откуда

$\displaystyle y'_x=\dfrac{3-3x^2y-y^2}{x^3+2xy+3y^2+5}.$

    

        Упражнение 4.8   Найдите производную справа при $ x=0$ от функции $ {f(x)=\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x}}$, если её доопределить при $ x=0$ так, чтобы она стала непрерывной справа в этой точке (покажите, что для этого нужно положить $ f(0)=\dfrac{\pi}{2}$).

Найдите также производную слева при $ x=0$, доопределив $ f(x)$ до непрерывности слева в этой точке.

Ответ: и та, и другая односторонние производные существуют и равны 0.     

        Упражнение 4.9   Найдите производные функций $ f(x)=\mathop{\rm th}\nolimits \dfrac{1}{x}$, $ g(x)=x\mathop{\rm th}\nolimits \dfrac{1}{x}$. Доопределите $ g(x)$ в точке 0 по непрерывности и отыщите при $ {x=0}$ левую и правую производные этой функции. Доопределите функцию $ f(x)$ двумя способами: так, чтобы она была непрерывна при $ {x=0}$ слева, и так, чтобы она была непрерывна справа. Для каждого из способов найдите в точке $ {x=0}$ соответствующую одностороннюю производную.


   

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;