дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Линейная зависимость векторов

        Предложение 10.7   Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то вся система линейно зависима.

        Доказательство.   

Пусть в системе векторов $ {\bf a}_1,{\bf a}_2,\dots,{\bf a}_k$ подсистема $ {\bf a}_1,{\bf a}_2,\dots,{\bf a}_m$ , $ {m\leqslant k}$ , является линейно зависимой, то есть $ {\alpha}_1{\bf a}_1+{\alpha}_2{\bf a}_2+\ldots+{\alpha}_m{\bf a}_m=0$ , и хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Тогда составим линейную комбинацию $ {\alpha}_1{\bf a}_1+{\alpha}_2{\bf a}_2+\ldots+{\alpha}_m{\bf a}_m+0{\bf a}_{m+1}+\ldots+0{\bf a}_k$ . Очевидно, что эта линейная комбинация равна нулю, и что среди коэффициентов есть ненулевой.    



Упражнение10.4.1. Докажите, что если система векторов линейно независимая, то любая ее подсистема линейно независимая.    

        Предложение 10.8   Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.

        Доказательство.    Пусть система состоит из вектора $ {\bf a}_1$ . Линейная комбинация имеет вид $ {\alpha}_1{\bf a}_1$ . Если $ {{\bf a}_1=0}$ , то $ {1\cdot{\bf a}_1=0}$ , то есть система линейно зависима. Если $ {{\alpha}_1{\bf a}_1=0}$ и $ {\alpha}_1\ne0$ , то $ {{\bf a}_1={\alpha}_1^{-1}\cdot 0=0}$ .    

        Предложение 10.9   Система, состоящая из двух векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны.

       

Доказательство этого предложения предоставляется читателю. Оно аналогично доказательству следующего предложения.

        Предложение 10.10   Система из трех векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.

        Доказательство.    Пусть векторы $ {\bf a}_1,{\bf a}_2,{\bf a}_3$  -- компланарные. Если $ {\bf a}_1,{\bf a}_2$  -- коллинеарные, то в силу предыдущего предложения они образуют линейно зависимую подсистему системы $ {\bf a}_1,{\bf a}_2,{\bf a}_3$ . По  предложению 10.7 система $ {\bf a}_1,{\bf a}_2,{\bf a}_3$  -- линейно зависима. Если векторы $ {\bf a}_1,{\bf a}_2$ -- неколлинеарные, то по  предложению 10.2 $ {\bf a}_3$ является линейной комбинацией векторов $ {\bf a}_1,{\bf a}_2$ и по  предложению 10.6 система векторов $ {\bf a}_1,{\bf a}_2,{\bf a}_3$  -- линейно зависимая.

Пусть система векторов линейно зависима. По  предложению 10.6 один вектор, скажем $ {\bf a}_1$ , является линейной комбинацией других векторов, $ {\bf a}_2$ и $ {\bf a}_3$ , $ {{\bf a}_1={\alpha}_2{\bf a}_2+{\alpha}_3{\bf a}_3}$ . Правая часть последнего равенства лежит в плоскости, в которой лежат векторы $ {\bf a}_2,{\bf a}_3$ . Поэтому вектор $ {\bf a}_1$ лежит в одной плоскости с векторами $ {\bf a}_2,{\bf a}_3$ , то есть векторы $ {\bf a}_1,{\bf a}_2,{\bf a}_3$  -- компланарные.    

        Предложение 10.11   Четыре вектора всегда образуют линейно зависимую систему.

        Доказательство.    Если первые три вектора являются компланарными, то они образуют линейно зависимую подсистему ( предложение 10.10). Следовательно, вся система линейно зависима ( предложение 10.7). Если первые три вектора -- некомпланарные, то четвертый является их линейной комбинацией ( предложение 10.3). По  предложению 10.6 система является линейно зависимой.    

На основании сказанного дадим другое определение базиса, которое является более распространенным, чем  определение 10.12.

        Определение 10.16   Базисом векторного пространства $ L$ называется такая упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства $ L$ раскладывается по векторам этой системы.        

Из  предложений 10.8 – 10.11 следует, что это определение эквивалентно определению 10.12.

Многомерные пространства

Девятая глава посвящена приближённым методам математического анализа, связанным с функциями одного переменного. Заметим, что эти методы будут служить базой для многомерных приближённых методов в следующих семестрах.

Здесь изучаются две основные темы: методы приближённого поиска корней уравнений, то есть таких значений аргумента $ x_0$, что для заданной функции $ f$ получается значение $ f(x_0)=0$; вторая тема -- приближённое нахождение точек экстремума (максимума или минимума) данной функции $ f$ и самих экстремальных значений $ f_{\max}$ и $ f_{\min}$.

 

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;