Система векторов называется линейно зависимой

Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Линейная зависимость векторов
Введем еще одно очень важное понятие, которое используется не только в алгебре, но и во многих других разделах математики.

Определение 10.14 Система векторов ${\bf a}_1,{\bf a}_2,\dots,{\bf a}_k$ называется линейно зависимой, если существует такой набор коэффициентов ${\alpha}_1,{\alpha}_2,\dots,{\alpha}_k$ , из которых хотя бы один отличен от нуля, что ${\alpha}_1{\bf a}_1+{\alpha}_2{\bf a}_2+\ldots+{\alpha}_k{\bf a}_k =0$ .

Система векторов, которая не является линейно зависимой, называется линейно независимой. Но последнее определение лучше сформулировать по другому.

Определение 10.15 Система векторов ${\bf a}_1,{\bf a}_2,\dots,{\bf a}_k$ называется линейно независимой, если равенство ${\alpha}_1{\bf a}_1+{\alpha}_2{\bf a}_2+\ldots+{\alpha}_k{\bf a}_k =0$ возможно только при ${\alpha}_1={\alpha}_2=\ldots={\alpha}_k=0$ .

Кто плохо понял два последних определения, может получить дополнительные объяснения здесь .

Предложение 10.6 Система векторов ${\bf a}_1,{\bf a}_2,\dots,{\bf a}_k$ линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов системы является линейной комбинацией остальных векторов этой системы.

Доказательство. Пусть система векторов линейно зависима. Тогда существует такой набор коэффициентов ${\alpha}_1,{\alpha}_2,\dots,{\alpha}_k$ , что ${\alpha}_1{\bf a}_1+{\alpha}_2{\bf a}_2+\ldots+{\alpha}_k{\bf a}_k =0$ , причем хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Предположим, что ${\alpha}_1\ne0$ . Тогда

$\displaystyle {\bf a}_1=\left(-\frac{{\alpha}_2}{{\alpha}_1}\right){\bf a}_2+\l... ...\right){\bf a}_3+\ldots+\left(-\frac{{\alpha}_k}{{\alpha}_1}\right){\bf a}_k\,,$

Цветовые палитры и модели цвета Регистрация параметров ядерного взрыва Дифференциальные уравнения Системы передачи
информации

то есть ${\bf a}_1$ является линейной комбинацией остальных векторов системы.

Пусть один из векторов системы является линейной комбинацией остальных векторов. Предположим, что это вектор ${\bf a}_1$ , то есть ${{\bf a}_1=\nu_2{\bf a}_2+\ldots+\nu_k{\bf a}_k}$ . Очевидно, что ${-{\bf a}_1+\nu_2{\bf a}_2+ \ldots+\nu_k{\bf a}_k=0}$ . Получили, что линейная комбинация векторов системы равна нулю, причем один из коэффициентов отличен от нуля (равен ).

Многомерные пространства

Линейные пространства

Определение и примеры
Базис и размерность пространства Экстремумы ФНП Примеры решения и оформления задач контрольной работы
Координаты векторов
Изменение координат вектора при изменении базиса

Евклидово пространство
Аффинное -мерное пространство
Девятая глава посвящена приближённым методам математического анализа, связанным с функциями одного переменного. Заметим, что эти методы будут служить базой для многомерных приближённых методов в следующих семестрах.
Здесь изучаются две основные темы: методы приближённого поиска корней уравнений, то есть таких значений аргумента , что для заданной функции получается значение ; вторая тема -- приближённое нахождение точек экстремума (максимума или минимума) данной функции и самих экстремальных значений $f_{\max}$ и $f_{\min}$ .

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;