дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Производные функции, заданной параметрически

      Пример 4.22   Пусть зависимость между $ x$ и $ y$ задана параметрически следующими формулами:

$\displaystyle x=\ln(1+t^2); y=\mathop{\rm arctg}\nolimits t.$

Цветовые палитры и модели цвета Регистрация параметров ядерного взрыва Дифференциальные уравнения Системы передачи
информации

Найдём уравнение касательной к графику зависимости $ y(x)$ в точке $ (\ln2;\frac{\pi}{4})$.

Значения $ x=\ln(1+t^2)=\ln2$ и $ y=\mathop{\rm arctg}\nolimits t=\frac{\pi}{4}$ получаются, если взять $ t=1$. Найдём производные $ x$ и $ y$ по параметру $ t$:

$\displaystyle x'_t=(\ln(1+t^2))'_t=\dfrac{2t}{1+t^2}; y'_t=(\mathop{\rm arctg}\nolimits t)'_t=\dfrac{1}{1+t^2}.$

Поэтому

$\displaystyle y'_x=\dfrac{y'_t}{x'_t}=\dfrac{ \dfrac{1}{1+t^2}}{\dfrac{2t}{1+t^2}}= \dfrac{1}{2t}.$

При $ t=1$ получаем значение производной

$\displaystyle y'_x\vert _{t=1}=\frac{1}{2};$

это значение задаёт угловой коэффициент $ k$ искомой касательной. Координаты $ x_0=\ln2$ и $ y_0=\frac{\pi}{4}$ точки касания заданы в условии задачи. Значит, уравнение касательной таково:

$\displaystyle y=y_0+k(x-x_0)=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}(x-\ln2).$

    

Заметим, что исходя из полученной параметрической зависимости $ y'_x=z(t)$, $ x=x(t)$, мы можем отыскать вторую производную функции $ y$ по переменной $ x$:

$\displaystyle y''_{xx}=(y'_x)'_x=\dfrac{z'_t}{x'_t}.$

        Пример 4.23   Пусть дана та же зависимость между $ y$ и $ x$, что в предыдущем примере:

$\displaystyle x=\ln(1+t^2); y=\mathop{\rm arctg}\nolimits t.$

Найдём выражение для второй производной $ y''_{xx}$ через параметр $ t$. Ранее мы получили, что $ y'_x=z(t)=\dfrac{1}{2t}$. Поэтому $ z'_t=-\dfrac{1}{2t^2}$; производную $ x'_t=\dfrac{2t}{1+t^2}$ мы нашли выше. Получаем:

$\displaystyle y''_{xx}=z'_x=\dfrac{z'_t}{x'_t} =\dfrac{-\dfrac{1}{2t^2}}{\dfrac{2t}{1+t^2}} =-\dfrac{1+t^2}{4t^3}.$

    

Можно получить и явный вид производной второго порядка от параметрически заданной функции, если подставить $ z=\dfrac{y'_t}{x'_t}$ в формулу $ y''_{xx}=z'_x=\dfrac{z'_t}{x'_t}$; при этом получим:

$\displaystyle y''_{xx}=\dfrac{\Bigl(\dfrac{y'_t}{x'_t}\Bigr)'_t}{x'_t}= \dfrac{y''_{tt}x'_t-x''_{tt}y'_t}{(x'_t)^3}.$ (4.17)

 

Пятая глава посвящена изучению свойств функций, имеющих производные во всех точках интервала или отрезка. Эти свойства весьма важны для дальнейшего теоретического изучения материала. Особое внимание обратите на полученную в этой главе формулу конечных приращений, которая далее будет использоваться довольно-таки часто. Примеры решения и оформления задач контрольной работы Математика Примеры решения задач

В этой же главе изучается полезный приём вычисления пределов -- правило Лопиталя.

При большой спешке с этой главой можно лишь бегло ознакомиться, оставив подробное изучение до тех времён, когда в дальнейшем Вам встретится ссылка на соответствующие теоремы из этой главы.

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;