дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Производные функции, заданной параметрически

Пусть задана зависимость двух переменных $ x$ и $ y$ от параметра $ t$, изменяющегося в пределах от $ {\alpha}$ до $ {\beta}$:

$\displaystyle x={\varphi}(t); y=\psi(t); t\in({\alpha};{\beta}).$

Пусть функция $ x={\varphi}(t)$ имеет обратную: $ t={\varphi}^{-1}(x)=\Phi(x)$. Тогда мы можем, взяв композицию функций $ y=\psi(t)$ и $ t=\Phi(x)$, получить зависимость $ y$ от $ x$: $ y=\psi(\Phi(x))$. Зависимость величины $ y$ от величины $ x$, заданная через зависимость каждой из них от параметра $ t$ в виде $ x={\varphi}(t), y=\psi(t)$, называется функцией $ y=y(x)$, заданной параметрически.

Производную функции $ y(x)$, заданной параметрически, можно выразить через производные функций $ {\varphi}(t)$ и $ \psi(t)$: поскольку $ y=\psi(\Phi(x))$ и, по формуле производной обратной функции, $ \Phi'(x)=\dfrac{1}{{\varphi}'(\Phi(x))}$, то

$\displaystyle y'_x=\psi'(\Phi(x))\Phi'(x)= \dfrac{\psi'(\Phi(x))}{{\varphi}'(\Phi(x))}= \dfrac{y'_t(t)}{x'_t(t)},$

где $ t=\Phi(x)$ -- значение параметра, при котором получается интересующее нас при вычислении производной значение $ x$.

Заметим, что применение формулы приводит нас к зависимости между $ z=y'_x$ и $ x$, снова выраженной в виде параметрической зависимости: $ y'_x=z(t)$, $ x=x(t)$; второе из этих соотношений -- то же, что участвовало в параметрическом задании функции $ y(x)$. Несмотря на то, что производная не выражена через $ x$ в явном виде, это не мешает решать нам задачи, связанные с нахождением производной, найдя соответствующее значение параметра $ t$. Покажем это на следующем примере.

  

Пятая глава посвящена изучению свойств функций, имеющих производные во всех точках интервала или отрезка. Эти свойства весьма важны для дальнейшего теоретического изучения материала. Особое внимание обратите на полученную в этой главе формулу конечных приращений, которая далее будет использоваться довольно-таки часто. Примеры решения и оформления задач контрольной работы Математика Примеры решения задач

В этой же главе изучается полезный приём вычисления пределов -- правило Лопиталя.

При большой спешке с этой главой можно лишь бегло ознакомиться, оставив подробное изучение до тех времён, когда в дальнейшем Вам встретится ссылка на соответствующие теоремы из этой главы.

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;