Рассмотрим функцию Производные высших порядков

Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Пример 4.20 Пусть $y=f(x)=e^{kx}$ . Тогда

$\displaystyle y'=e^{kx}\cdot k=ke^{kx}; y''=k(e^{kx})'=ke^{kx}\cdot k=k^2e^{kx}; \dots; y^{(n)}=k^ne^{kx}; \dots.$

При

все производные оказываются равными исходной функции: $(e^x)^{(n)}=e^x.$

Пример 4.21 Рассмотрим функцию $y=f(x)=\sin x$ . Тогда

$\displaystyle y'=\cos x,\; y''=-\sin x,\;y'''=-\cos x,\;y^{(4)}=\sin x.$

Цветовые палитры и модели цвета Регистрация параметров ядерного взрыва Дифференциальные уравнения Системы передачи
информации

Поскольку четвёртая производная $y^{(4)}$ совпала с исходной функцией

, то далее значения производных начнут повторяться с шагом 4: при $k=0;1;2;\dots$ получаем

$\displaystyle y^{(4k)}(x)=\sin x; y^{(4k+1)}(x)=\cos x; y^{(4k+2)}(x)=-\sin x; y^{(4k+3)}(x)=-\cos x.$

Заметим также, что

$\displaystyle y'=\cos x=\sin(x+\frac{\pi}{2}),$
$\displaystyle {}\quad\quad y''=-\sin x=\sin(x+2\frac{\pi}{2}),$
$\displaystyle {}\quad\quad\quad y'''=-\cos x=\sin(x+3\frac{\pi}{2}),$
$\displaystyle {}\quad\quad\quad\quad y^{(4)}=\sin x=\sin(x+4\frac{\pi}{2}).$

Легко видеть, что имеет место общая формула:

$\displaystyle y^{(n)}=(\sin x)^{(n)}=\sin(x+n\frac{\pi}{2}).$

Упражнение 4.4 Рассмотрите функцию $y=\cos x$ и получите для её производных аналогичные формулы.

Упражнение 4.5 Найдите производные произвольного порядка

от гиперболических функций $\mathop{\rm sh}\nolimits x$ и $\mathop{\rm ch}\nolimits x$ .

Упражнение 4.6 Найдите производные произвольного порядка

от функции $y=\ln x$ . Придумайте формулу, позволяющую кратко записать выражение для $y^{(n)}$ ; эта формула будет содержать знак факториала ( $n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n$ ).

Упражнение 4.7 Докажите, что вторая производная чётной функции является чётной функцией, а вторая производная нечётной функции -- нечётной функцией.

Кривизна плоской кривой
- Кривизна графика функции Скалярное поле Примеры решения и оформления задач контрольной работы
- Вершины кривых
- Радиус кривизны
- Упражнения
Четвёртая глава повествует о, быть может, самом главном понятии, на котором держится вся современная математика -- понятии производной (во всяком случае, наряду с определённым интегралом, об одном из двух самых главных понятий). Эту главу непременно нужно подробнейшим образом изучить и научиться находить производные так, чтобы эта процедура не вызывала в дальнейшем затруднений. Поверьте, содержательных трудностей в дальнейшем будет достаточно, так что процедура нахождения производной, которая часто будет вспомогательной при решении сложных задач, должна рассматриваться как дело техники вычислений и не вызывать замешательства. Итак, четвёртая глава -- самая главная глава во всей той части учебника, что посвящена математическому анализу! Пропускать её или относиться к ней без пристального внимания никак нельзя.

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;