дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Производные некоторых элементарных функций (продолжение)

    Пример 4.15   Найдём производную гиперболического тангенса $ \mathop{\rm th}\nolimits x=\dfrac{\mathop{\rm sh}\nolimits x}{\mathop{\rm ch}\nolimits x}$. Заметим для начала, что $ \mathop{\rm ch}\nolimits ^2x-\mathop{\rm sh}\nolimits ^2x=1$ (проверьте!). Далее, имеем:

$\displaystyle (\mathop{\rm th}\nolimits x)'=\dfrac{(\mathop{\rm sh}\nolimits x)... ...ts ^2x}=\dfrac{1}{\mathop{\rm ch}\nolimits ^2x}=1-\mathop{\rm th}\nolimits ^2x.$

    

        Пример 4.16   Найдём производную гиперболического котангенса $ \mathop{\rm cth}\nolimits x=\dfrac{\mathop{\rm ch}\nolimits x}{\mathop{\rm sh}\nolimits x}$. Имеем:

$\displaystyle (\mathop{\rm cth}\nolimits x)'=\dfrac{(\mathop{\rm ch}\nolimits x... ... ^2x}=-\dfrac{1}{\mathop{\rm sh}\nolimits ^2x}=1-\mathop{\rm cth}\nolimits ^2x.$

    

        Упражнение 4.2   Выведите эти же 4 формулы для производных функций $ \mathop{\rm sh}\nolimits x,\mathop{\rm ch}\nolimits x,\mathop{\rm th}\nolimits x,\mathop{\rm cth}\nolimits x$, исходя из того, что это -- обратные функции к соответствующим ареа-функциям, производные которых мы уже нашли выше. При этом используйте формулу (4.15).

Обратно, исходя из доказанных формул для производных гиперболических функций, выведите при помощи формулы (4.15) формулы для производных ареа-функций.     

        Пример 4.17   Найдём теперь формулу для производной функции $ y=x^{{\alpha}}$ при произвольном вещественном $ {\alpha}$. Некоторые частные случаи (при $ {\alpha}=n\in\mathbb{Z}$, $ {\alpha}=\frac{1}{2}$) были нами разобраны выше.

Итак, пусть $ f(x)=x^{{\alpha}}$, $ {\alpha}\in\mathbb{R}$, $ x\in(0;+\infty)$. Запишем функцию в виде $ f(x)=e^{{\alpha}\ln x}$ и найдём её производную как производную композиции с промежуточным аргументом $ u={\alpha}\ln x$. Получаем тогда

$\displaystyle (x^{{\alpha}})'=(e^{{\alpha}\ln x})'= e^{{\alpha}\ln x}({\alpha}... ...\ln x}\dfrac{1}{x}={\alpha}x^{\\ al}\cdot\dfrac{1}{x}= {\alpha}x^{{\alpha}-1}.$

    

Применим теперь полученные формулы для вычисления некоторых производных.

        Пример 4.18   Найдём производную функции

$\displaystyle f(x)=\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x},$ при $\displaystyle x\ne0.$

При $ x=0$ функция имеет неустранимый разрыв первого рода, поскольку

$\displaystyle \lim\limits_{x\to0+}f(x)= \lim\limits_{x\to0+}\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x}=\dfrac{\pi}{2},$

а

$\displaystyle \lim\limits_{x\to0-}f(x)= \lim\limits_{x\to0-}\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x}=-\dfrac{\pi}{2}.$

Рис.4.9.График функции $ f(x)$


Теперь вычислим производную при $ x\ne0$: применяя формулу производной сложной функции, получаем

$\displaystyle f'(x)=(\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x})'=\dfrac{1}{1+\df... ...frac{1}{1+\dfrac{1}{x^2}}\cdot\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)= -\dfrac{1}{1+x^2}.$

Рис.4.10.График производной $ f'(x)$


Заметим, что если бы не разрыв при $ x=0$, эта производная совпала бы с производной функции $ \mathop{\rm arcctg}\nolimits $. Это неспроста: дело в том, что если мы положим

$\displaystyle g(x)=\left\{\begin{array}{ll} \mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac... ...mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x},&\mbox{ при }x>0, \end{array}\right. $

то $ g(x)$ будет совпадать с $ \mathop{\rm arcctg}\nolimits x$ при всех $ x\ne0$. В то же время $ g(x)$ отличается на постоянное слагаемое от $ f(x)$ при $ x<0$, и поэтому производные у $ f(x)$ и у $ g(x)$ одинаковые.     

        Упражнение 4.3   Найдите производную функции

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right. $

Отдельно вычислите производную при $ {x\ne0}$ (как производную произведения) и производные слева и справа при $ {x=0}$ (пользуясь определением производной, как

$\displaystyle \lim\limits_{h\to0\pm}\dfrac{f(h)-f(0)}{h}= \lim\limits_{h\to0\pm}\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{h}.)$

 

    

    

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;