Теорема Производная обратной функции

Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Производная обратной функции

Пусть -- непрерывная функция, монотонная на интервале . Тогда, как мы доказали в гл. 3, функция имеет обратную функцию $x={\varphi}(y)$ , которая также является непрерывной и монотонной функцией на интервале , в который функция переводит интервал . Пусть $x_0\in(a;b)$ -- фиксированная точка и $y_0=f(x_0)\in(c;d)$ -- точка, ей соответствующая. Тогда $x_0={\varphi}(y_0)$ .

Теорема 4.5 Пусть функция имеет в точке производную $f'(x_0)\ne0$ . Тогда обратная функция ${\varphi}(y)$ имеет в соответствующей точке производную ${\varphi}'(y_0)$ , которую можно отыскать по формуле

$\displaystyle {\varphi}'(y_0)=\dfrac{1}{f'(x_0)}.$

(4.14)

Доказательство. Дадим аргументу приращение ${\Delta}x\ne0$ , такое что ${x_0+{\Delta}x\in(a;b)}$ , и рассмотрим соответствующее приращение ${\Delta}y$ , определяемое равенством $y_0+{\Delta}y=f(x_0+{\Delta}x)$ . Тогда, очевидно, ${y_0+{\Delta}y\in(c;d)}$ ; при этом ${\varphi}(y_0+{\Delta}y)=x_0+{\Delta}x$ , а из монотонности функции следует, что ${\Delta}y\ne0$ . Поскольку как функция , так и функция ${\varphi}$ непрерывны, то условия ${\Delta}x\to0$ и ${\Delta}y\to0$ эквивалентны. Составим теперь разностное отношение для функции $x={\varphi}(y)$ и запишем для него очевидное равенство:

$\displaystyle \dfrac{{\Delta}x}{{\Delta}y}=\dfrac{1}{\dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x}}.$

Теперь перейдём в этом равенстве к пределу при ${\Delta}y\to0$ и учтём, что при этом ${\Delta}x$ тоже стремится к 0:

$\displaystyle {\varphi}'(y_0)=\lim_{{\Delta}y\to0}\dfrac{{\Delta}x}{{\Delta}y}=... ...1}{\lim\limits_{{\Delta}x\to0}\dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x}}=\dfrac{1}{f'(x_0)},$

что мы и хотели доказать.

Заметим, что, очевидно, из формулы (4.14) следует, что

$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{{\varphi}'(f(x))},$

(4.15)

если ${\varphi}(y)$ -- функция, обратная к

Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Пределы Математика Примеры решения задач
- Отделение корней
- Метод простого перебора
- Метод половинного деления
- Метод простых итераций
- Метод секущих
- Метод одной касательной
- Метод Ньютона (метод касательных)
- Метод хорд (метод линейной интерполяции)
- Приближённое нахождение точки экстремума
- Метод простого перебора
- Метод почти половинного деления
- Метод золотого сечения и метод Фибоначчи
- Методы, связанные с приближённым нахождением корня производной
- Упражнения

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;