некомпланарные векторы

Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Разложение вектора по базису

Предложение 10.3 Пусть a,b и c -- некомпланарные векторы. Тогда любой вектор d раскладывается по этим векторам.

Доказательство. Среди векторов a,b,c нет пары коллинеарных, так как в противном случае векторы a,b,c были бы компланарны.

Если вектор d является компланарным с парой векторов a,c, парой b,c или парой a,c, то в силу предложения 10.2 вектор d раскладывается по векторам a,b,c, где в соответствующей линейной комбинации один из коэффициентов окажется нулевым.

В общем случае выполним следующие построения. Передвинем векторы a,b,c,d параллельно самим себе так, чтобы их начала оказались в одной точке . Через пару векторов a,b проведем плоскость ${\bf П}_1$ , через пару b,c -- плоскость ${\bf П}_2$ ,через пару a,c -- ${\bf П}_3$ . Через конец вектора d проведем плоскости ${\bf П}_4,{\bf П}_5,{\bf П}_6$ параллельно плоскостям ${\bf П}_1,{\bf П}_2, {\bf П}_3$ соответственно. Эти шесть плоскостей ограничивают параллелепипед, диагональю которого служит вектор d (рис. 10.12).

Рис.10.12.

Очевидно, что ${{\bf d}}=\overrightarrow {OC_1}=\overrightarrow {OC}+\overrightarrow {OO_1}$ , ${\overrightarrow {OC}=\overrightarrow {OA}+ \overrightarrow {OB}}$ . Следовательно, ${{\bf d}=\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OO_1}}$ . В силу предложения 10.1 ${\overrightarrow {OA}={\alpha}{\bf a}}$ , ${\overrightarrow {OB}={\beta} {\bf b}}$ , ${\overrightarrow {OO_1}={\gamma}{\bf c}}$ . Поэтому ${{\bf d}={\alpha}{{\bf a}}+{\beta}{{\bf b}}+{\gamma}{{\bf c}}}$ , то есть d раскладывается по векторам a,b,c.

В соответствии с предложением 10.3 и замечаниями 10.2, 10.3 к предложениям 10.1 и 10.2 можно сделать вывод, что в любом векторном пространстве любой размерности есть система векторов, по которой раскладывается каждый вектор пространства, причем единственным образом.

Определение 10.12 Базисом векторного пространства

будем называть упорядоченную систему векторов пространства, состоящую: из одного ненулевого вектора, если пространство одномерное; из двух неколлинеарных векторов, если пространство двумерное; из трех некомпланарных векторов, если пространство трехмерное.

Очевидно, что в любом векторном пространстве можно выбрать бесконечно много базисов, число векторов в каждом из них равно размерности пространства.

Слова "упорядоченная система векторов" означают, что указан порядок перечисления векторов.

Определение 10.13 Координатами (или компонентами) вектора a в базисе ${\bf e}_1\dots{\bf e}_s$ называются коэффициенты разложения вектора a по векторам базиса.

Для указания, что вектор a имеет координаты ${\alpha}_1,\dots {\alpha}_s$ , мы будем использовать запись ${{\bf a}=({\alpha}_1,\dots {\alpha}_s)}$ .

Очевидно, что в фиксированном базисе каждый вектор имеет свой, единственный, набор координат. Если же взять другой базис, то координаты вектора в общем случае изменятся.

Сложение векторов и умножение их на число связаны с аналогичными действиями с их координатами. Доказательство соответствующих предложений для простоты записи проведем для случая двумерного пространства. Читатель без труда повторит их для пространства любой размерности.

Линейные преобразования Функция нескольких переменных Примеры решения и оформления задач контрольной работы

Определение и примеры
Матрица линейного преобразования
Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса
Собственные числа и собственные векторы
Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц
Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов
Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду

С практической точки зрения в приложениях, эта глава может оказаться наиболее ценной для применения математических методов при изучении других дисциплин, особенно технического и экономического характера, так что эту главу изучить надо непременно, хотя для понимания дальнейших математических разделов (теоретического, а не вычислительного характера) результаты этой главы не обязательны.

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;