дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Производные некоторых элементарных функций

     Пример 4.3   Найдём производную функции

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^2\sin\dfrac{1}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right. $

При $ x\ne0$ вычислим производную как производную произведения:

$\displaystyle f'(x)=2x\sin\dfrac{1}{x}+x^2\cos\dfrac{1}{x}\cdot\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)= 2x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x}.$

При $ x=0$ производную вычислим по формуле, служащей определением производной:

$\displaystyle f'(0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(h)-f(0)}{h}= \lim_{h\to0}\dfrac{h^2\sin\dfrac{1}{h}}{h}= \lim_{h\to0}h\sin\dfrac{1}{h}=0,$

поскольку получили предел произведения бесконечно малой величины $ h$ и ограниченной величины $ \sin\dfrac{1}{h}$. Итак, $ f'(0)=0$, однако это значение не является пределом $ f'(x)$ при $ x\to0$, то есть производная $ f'(x)$ имеет при $ x=0$ разрыв второго рода. Действительно, в выражении для $ f'(x)$ при $ x\ne0$ первое слагаемое $ 2x\sin\dfrac{1}{x}$ стремится к 0 при $ x\to0$, однако второе слагаемое $ -\cos\dfrac{1}{x}$ не стремится ни к какому пределу при $ x\to0$, совершая вблизи 0 бесконечно много колебаний.

Рис.4.5.Графики функции $ f(x)$ и её производной $ f'(x)$


Этот пример показывает, что производная, даже если она всюду существует, не обязана быть непрерывной функцией.  

  

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;