дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Производная

Итак, согласно предыдущим двум определениям, производная $ f'(x_0)$ функции $ f(x)$ в точке $ x_0$, правая производная $ f'_+(x_0)$ и левая производная $ f'_-(x_0)$ задаются, соответственно, формулами
\begin{subequations}\begin{gather} f'(x_0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{... ..._-(x_0)=\lim_{h\to0-}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}, \end{gather}\end{subequations}

при этом в формуле (4.3a) функция должна быть определена на некотором интервале $ (x_0-{\delta};x_0+{\delta})$, в формуле (4.3b) -- на некотором полуинтервале $ [x_0;x_0+{\delta})$, а в формуле (4.3c) -- на некотором полуинтервале $ (x_0-{\delta};x_0]$.

Функция, имеющая в точке $ x_0$ производную (соотв. левую производную, правую производную), называется дифференцируемой (соотв. дифференцируемой слева, дифференцируемой справа) в точке $ x_0$. Функция, дифференцируемая во всех точках некоторого интервала $ (a;b)$, называется дифференцируемой на интервале $ (a;b)$. Пусть теперь $ [a;b]$ -- замкнутый отрезок. Функция, дифференцируемая во всех точках интервала $ (a;b)$, дифференцируемая справа в точке $ a$ и дифференцируемая слева в точке $ b$, называется дифференцируемой на отрезке $ [a;b]$. Цветовые палитры и модели цвета Регистрация параметров ядерного взрыва Дифференциальные уравнения Системы передачи
информации

 

Вычислим производную данной функции $ f(x)$ в различных точках $ x$ некоторого интервала $ (a;b)$ и предположим, что производная $ f'(x)$ существует при всех $ x\in(a;b)$. Тогда мы можем задать соответствие между точками $ x$ интервала и числами $ f'(x)$ и получаем функцию $ f': (a;b)\to\mathbb{R}; f':x\mapsto f'(x)$. Эта функция $ f'$ называется производной от функции $ f$ (или первой производной от $ f$).

С математической точки зрения, разница между формулами (4.3 a-c) невелика: согласно теореме о связи двустороннего предела с односторонними, если существует производная $ f'(x_0)$, то существуют обе односторонние производные (правая $ f'_+(x_0)$ и левая $ f'_-(x_0)$), и $ f'(x_0)=f'_+(x_0)=f'_-(x_0)$. Обратно, если существуют и равны друг другу односторонние производные, $ f'_+(x_0)=f'_-(x_0)$, то существует и производная $ f'(x_0)$, совпадающая с их общим значением.

В предположении, что производная $ f'(x_0)$ существует, мы можем теперь сказать, что число $ f'(x_0)$ задаёт мгновенную скорость изменения координаты $ y=f(x)$ при $ x=x_0$; с геометрической точки зрения, эта скорость равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику $ y=f(x)$ при $ x=x_0$: чем быстрее растут (или убывают) значения функции, тем круче наклонён график к оси $ Ox$ (составляя, соответственно, положительный или отрицательный угол с осью $ Ox$).

Рис.4.3.Скорость роста значений функции соответствует величине тангенса угла наклона касательной

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;