дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Касательная к кривой на плоскости

Пусть на координатной плоскости $ xOy$ построен график функции $ f(x)$, и $ x_0$ -- некоторая внутренняя точка области определения $ \mathcal{D}(f)$. Прямая, проходящая через точки $ M_0(x_0;y_0)$ и $ M_1(x_1;y_1)$, где $ y_0=f(x_0)$ и $ y_1=f(x_1)$ ( $ x_1\ne x_0$), -- это секущая по отношению к графику $ y=f(x)$.

Касательной к линии $ y=f(x)$ в точке $ M_0$ называется прямая $ M_0N$, служащая предельным положением секущих (прямых $ M_0M_1$), при условии, что точка $ M_1$ приближается, следуя по линии $ y=f(x)$, к точке касания $ M_0$.

Рис.4.1.Касательная -- это предельное положение секущих


Этому не вполне строгому определению можно придать точный смысл, если задавать положения всех прямых, проходящих через точку $ M_0$, то есть секущих и касательной, их углом наклона по отношению к положительному направлению оси $ Ox$. Обозначим через $ {\beta}$ угол наклона прямой $ M_0M_1$. Очевидно, что, вообще говоря, угол $ {\beta}$ зависит от выбора точки $ M_1$: $ {\beta}={\beta}(x_1)$ (считаем, что точка $ M_0$ фиксирована). Так как секущая проходит через точки с координатами $ (x_0;f(x_0))$ и $ (x_1;f(x_1))$, то

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\beta}(x_1)=\dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}.$

Если теперь обозначить через $ h$ приращение абсциссы $ x$ при переходе от точки $ x_0$ к точке $ x_1$, то есть $ h=x_1-x_0$, то получим, что

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\beta}(x_0+h)=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$

Приближение точки $ M_1$ к точке $ M_0$ вдоль кривой $ y=f(x)$ означает, что $ h\to0$; при этом угол $ {\beta}$ приближается, по определению, к углу $ {\alpha}$ наклона касательной $ M_0N$:

$\displaystyle {\alpha}=\lim_{h\to0}{\beta}(x_0+h).$

Предположим, что этот предел существует (что означает существование касательной) и не равен $ \pm\frac{\pi}{2}$. Тогда, вследствие того, что тангенс непрерывен при $ x\ne\pm\frac{\pi}{2}+2m\pi$ ( $ m\in\mathbb{Z}$), получаем, что

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}=\lim_{h\to0}\mathop{\rm tg}\nolimits {\beta}(x_0+h)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$

Итак, по определению, мы называем прямую $ M_0N$ наклонной касательной (или просто касательной) к линии $ y=f(x)$ в точке $ M_0(x_0;f(x_0))$, если она имеет тангенс угла $ {\alpha}$ наклона к оси $ Ox$, равный

$\displaystyle k_{x_0}=\mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$(4.3)

Число $ k_{x_0}$ называют угловым коэффициентом касательной к графику функции при $ {x=x_0}$.

Если же $ {\alpha}=\lim\limits_{h\to0}{\beta}(x_0+h)=\pm\frac{\pi}{2}$, то прямая $ M_0N$ оказывается вертикальной (перпендикулярной к оси $ Ox$). В этом случае будем говорить, что график $ y=f(x)$ имеет вертикальную касательную в точке $ M_0$. Этот случай соответствует тому, что

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\beta}(x_0+h)=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\to+\infty$

или

Цветовые палитры и модели цвета Регистрация параметров ядерного взрыва Дифференциальные уравнения Системы передачи
информации

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\beta}(x_0+h)=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\to-\infty$

при $ h\to0$.

    

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;