дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Операции над векторами
        Теорема 10.1   Для любых векторов $ {\bf a},{\bf b},{\bf c}$ и любых вещественных чисел $ {\alpha},{\beta}$ выполняются следующие свойства:
1) $ {\bf a}+{\bf b}={\bf b}+{\bf a}$ (свойство коммутативности операции сложения);
2) $ ({\bf a}+{\bf b})+{\bf c}={\bf a}+({\bf b}+{\bf c})$ (свойство ассоциативности операции сложения);
3) $ {{\bf a}}+0={\bf a}$ ;
4) $ {{\bf a}+(- {\bf a})}=0$ ;
5) $ {\alpha}({\beta}{\bf a})=({\alpha}{\beta}){\bf a}$ (свойство ассоциативности по отношению к числам);
6) $ {\alpha}({\bf a}+{\bf b})={\alpha}{\bf a}+{\alpha}{\bf b}$ (свойство дистрибутивности по отношению к умножению на число);
7) $ ({\alpha}+{\beta}){\bf a}={\alpha}{\bf a}+{\beta}{\bf a}$ (свойство дистрибутивности по отношению к умножению на вектор;
8) $ 1\cdot{\bf a}={\bf a}$ .

        Доказательство.    Свойство 1 следует из того, что при сложении векторов по правилу параллелограмма (рис. 10.2) порядок слагаемых не влияет на построение параллелограмма. Доказательство свойства 2 следует из рисунка 10.5.




Рис.10.5.Ассоциативность сложения


Свойства 3 и 4 очевидны при сложении векторов по правилу треугольника.

Докажем свойство 5. Векторы, стоящие в обеих частях доказываемого равенства, имеют одинаковую длину $ \vert{\alpha}\vert\cdot\vert{\beta}\vert\cdot\vert{\bf a}\vert$ . Если это произведение равно нулю, то векторы в правой и левой частях доказываемого равенства нулевые и, следовательно, равны друг другу. В противном случае векторы $ {\alpha}({\beta}{\bf a})$ и $ ({\alpha}{\beta}){\bf a}$ коллинеарны вектору a и имеют с ним одинаковое направление, если числа $ {\alpha}$ и $ {\beta}$ одного знака, и направление, противоположное вектору a, если $ {\alpha}$ и $ {\beta}$ разного знака. Следовательно, $ {{\alpha}({\beta}{\bf a})=({\alpha}{\beta}) {\bf a}}$ .

Свойство 6 очевидно, если $ {{\alpha}=0}$ . Если $ {\alpha}<0$ и векторы a и b неколлинеарны, то это свойство вытекает из подобия треугольников на рисунке 10.6.




Рис.10.6.Свойство дистрибутивности


Случаи, когда $ {\alpha}>0$ или a и b коллинеарны, предоставляем проанализировать читателю самостоятельно.

Для доказательства свойства 7 заметим, что векторы $ {{\bf f}=({\alpha}+{\beta}){\bf a}}$ и $ {{\bf g}={\alpha}{\bf a}+{\beta}{\bf a}}$ коллинеарны. Без ограничения общности можно считать, что $ \vert{\alpha}\vert\geqslant \vert{\beta}\vert$ (в противном случае поменяем местами $ {\alpha}$ и $ {\beta}$ в доказываемом равенстве).

Пусть $ {\alpha}$ и $ {\beta}$ одного знака. Тогда $ \vert{\bf f}\vert=\vert{\alpha}+{\beta}\vert\cdot\vert{\bf a}\vert= (\vert{\alpha}\vert+\vert{\beta}\vert)\vert{\bf a}\vert$ , $ {\bf g}=\vert{\alpha}\vert\cdot\vert{\bf a}\vert+\vert{\beta}\vert\cdot\vert{\bf a}\vert= (\vert{\alpha}\vert+\vert{\beta}\vert)\vert{\bf a}\vert$ .

Пусть $ {\alpha}$ и $ {\beta}$ имеют разные знаки. Тогда $ {\vert{\bf f}\vert=(\vert{\alpha}\vert-\vert{\beta}\vert)\vert{\bf a}\vert}$ , $ \vert{\bf g}\vert=\vert{\alpha}\vert\cdot\vert{\bf a}\vert-\vert{\beta}\vert\cdot\vert{\bf a}\vert=(\vert{\alpha}\vert-\vert{\beta}\vert)\vert{\bf a}\vert$ . Получили, что $ {\vert{\bf f}\vert=\vert{\bf g}\vert}$ в обоих случаях.

Векторы f и g имеют одно направление. Оно совпадает с направлением a при $ {\alpha}>0$ и противоположно при $ {\alpha}<0$ . Следовательно, $ {{\bf f}={\bf g} }$ . Свойство 7 доказано.



Рис.10.7.Сумма нескольких слагаемых


Сформулируем еще несколько очевидных свойств операций сложения и умножения вектора на число:
9) равенство $ {\alpha}{{\bf a}}=0$ верно тогда и только тогда, когда или $ {{\alpha}=0}$ , или $ {{\bf a}=0}$ ;
10) вектор, противоположный вектору a, равен $ (-1)\cdot{\bf a}$ , то есть $ {-{\bf a}=(-1)\cdot{\bf a}}$ ;
11) для любых векторов a и b существует такой вектор x, что $ {{\bf a}+ {\bf x}={\bf b}}$ .

Линейные преобразования Функция нескольких переменных Примеры решения и оформления задач контрольной работы

 

С практической точки зрения в приложениях, эта глава может оказаться наиболее ценной для применения математических методов при изучении других дисциплин, особенно технического и экономического характера, так что эту главу изучить надо непременно, хотя для понимания дальнейших математических разделов (теоретического, а не вычислительного характера) результаты этой главы не обязательны.

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;