Напомним, что непрерывность функции

Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Равномерная непрерывность

в точке

означает, что $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ , то есть
$\forall{\varepsilon}>0\ \exists{\delta}>0\ \forall x\in I: \vert x-x_0\vert<{\delta}\Longrightarrow \vert f(x)-f(x_0)\vert<{\varepsilon}.$
Тем самым непрерывность функции

на интервале или отрезке $I\sbs\mathcal{D}(f)$ означает, что
$\forall x_0\in I\ \forall{\varepsilon}>0\ \exists{\delta}>0\ \forall x\in I: \vert x-x_0\vert<{\delta}\Longrightarrow \vert f(x)-f(x_0)\vert<{\varepsilon}.$
При этом мы имеем право выбирать число ${\delta}>0$ в зависимости от ${\varepsilon}$ и, главное, от точки $x_0\in I$ .

Предположим теперь, что число ${\delta}>0$ можно выбрать общим для всех $x_0\in I$ (но, конечно, зависящим от ${\varepsilon}$ ). Тогда говорят, что свойство функции быть непрерывной в точке выполнено равномерно по $x_0\in I$ .

Дадим теперь такое

Цветовые палитры и модели цвета Регистрация параметров ядерного взрыва Дифференциальные уравнения Системы передачи
информации

Определение 3.5 Пусть

-- некоторая функция и $I\sbs\mathcal{D}(f)$ . Функция

равномерно непрерывна на

, если
$\forall{\varepsilon}>0\ \exists{\delta}>0\ \forall x_0,x\in I: \vert x-x_0\vert<{\delta}\Longrightarrow \vert f(x)-f(x_0)\vert<{\varepsilon}.$

Приведём пример равномерно непрерывной функции.

Пример 3.15 Рассмотрим функцию $f(x)=\sin x$ и покажем, что она равномерно непрерывна на всей числовой оси $\mathbb{R}$ . Фиксируем число ${\varepsilon}>0$ и положим ${\delta}={\varepsilon}$ . Выберем теперь любые две точки

, такие что $\vert x-x_0\vert<{\varepsilon}$ , и покажем, что тогда ${\vert\sin x-\sin x_0\vert<{\varepsilon}}$ . Действительно,

$\displaystyle \vert\sin x-\sin x_0\vert=\left\vert 2\cos\dfrac{x+x_0}{2}\sin\df... ...left\vert\dfrac{x-x_0}{2}\right\vert= \vert x-x_0\vert\leqslant {\varepsilon},$

так как, во-первых, $\left\vert\cos\dfrac{x-x_0}{2}\right\vert\leqslant 1$ при всех

и, во-вторых, $\vert\sin{\alpha}\vert\leqslant \vert{\alpha}\vert$ при всех ${\alpha}\in\mathbb{R}$ (у нас ${\alpha}=x-x_0$ ). Таким образом. равномерная непрерывность функции $\sin$ доказана.

Лучше изучить условие равномерности по мы сможем, приведя пример, где оно нарушается.

Прямые линии и плоскости Неопределенный интеграл Математика Примеры решения задач
- Уравнение поверхности
- Уравнение плоскости
- Изображение плоскости
  - Все коэффициенты и свободный член в уравнении отличны от нуля
  - Коэффициенты при неизвестных отличны от нуля, а свободный член равен нулю
  - Один из коэффициентов при неизвестных равен нулю
  - Два коэффициента при переменных равны нулю
Шестая глава изучает формулу Тейлора -- способ приближённого представления числовой функции многочленом. Важность результатов этой главы выяснится при изучении математики в последующих семестрах, хотя некоторые важные следствия формулы Тейлора (например, оценки для формул приближённого дифференцирования) мы получаем уже в этой же главе. В следующих главах раздела "Математический анализ" в этом учебнике формула Тейлора также используется, хотя и не очень часто.

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;