дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Непрерывность функции на интервале и на отрезке

        Определение 3.3   Пусть $ f$ -- некоторая функция, $ \mathcal{D}(f)$ -- её область определения и $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$ -- некоторый (открытый) интервал (может быть, с $ a=-\infty$ и/или $ b=+\infty$). Назовём функцию $ f$ непрерывной на интервале $ (a;b)$, если $ f$ непрерывна в любой точке $ x_0\in(a;b)$, то есть для любого $ x_0\in(a;b)$ существует $ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ (в сокращённой записи:
$ \forall\ x_0\in(a;b)\ \exists\ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)).$

Пусть теперь $ [a;b]$ -- (замкнутый) отрезок в $ \mathcal{D}(f)$. Назовём функцию $ f(x)$ непрерывной на отрезке $ [a;b]$, если $ f$ непрерывна на интервале $ (a;b)$, непрерывна справа в точке $ a$ и непрерывна слева в точке $ b$, то есть
$ 1)\quad\forall\ x_0\in(a;b)\ \exists\ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0);$
$ 2)\quad\exists\ \lim\limits_{x\to a+}f(x)=f(a);$
$ 3)\quad\exists\ \lim\limits_{x\to b-}f(x)=f(b).$     

Цветовые палитры и модели цвета Регистрация параметров ядерного взрыва Дифференциальные уравнения Системы передачи
информации

        Пример 3.13   Рассмотрим функцию $ H(x)=\left\{\begin{array}{rl} 0,&\mbox{ при }x<0;\\ 1,&\mbox{ при }x\geqslant 0 \end{array}\right. $ (функция Хевисайда) на отрезке $ [0;b]$, $ b>0$. Тогда $ H(x)$ непрерывна на отрезке $ [0;b]$ (несмотря на то, что в точке $ x=0$ она имеет разрыв первого рода).     

Рис.3.15.График функции Хевисайда


Аналогичное определение можно дать и для полуинтервалов вида $ (a;b]$ и $ [c;d)$, включая случаи $ a=-\infty$ и $ d=+\infty$. Однако можно обобщить данное определение на случай произвольного подмножества $ A\sbs\mathcal{D}(f)$ следующим образом. Введём сначала понятие индуцированной на $ A$ базы: пусть $ \mathcal{B}$ -- база, все окончания $ E\in\mathcal{B}$ которой имеют непустые пересечения с $ A$. Обозначим $ E\cap A$ через $ E^A$ и рассмотрим множество всех $ E^A$. Нетрудно тогда проверить, что множество $ \mathcal{B}^A=\{E^A, E\in\mathcal{B}\}$ будет базой. Тем самым для $ A\sbs\mathcal{D}(f)$ определены базы $ \mathcal{B}(x_0)^A$, $ \mathcal{B}(x_0-)^A$ и $ \mathcal{B}(x_0+)^A$, где $ \mathcal{B}(x_0)$, $ \mathcal{B}(x_0-)$ и $ \mathcal{B}(x_0+)$ -- базы непроколотых двусторонних (соответственно левых, правых) окрестностей точки $ x_0$ (их определение см. в начале текущей главы).

Восьмая глава изучает хотя и полезное и важное, но всё-таки понятие второго ряда -- понятие кривизны кривых. Здесь определяется также понятие вершины произвольной кривой. Приводятся примеры, которые показывают, что в случае кривых второго порядка (которые более подробно будут изучены в разделе "Аналитическая геометрия") вершины их в новом смысле находятся на привычных местах.

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;