дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Свойства функций, непрерывных в точке

  Теорема 3.2   Пусть функции $ f$ и $ g$ таковы, что существует композиция $ {h(x)=(f\circ g)(x)=f(g(x))}$, $ x\in\mathcal{D}(g)$. Пусть функция $ g$ непрерывна в точке $ x_0\in\mathcal{D}(g)$, а функция $ f$ непрерывна в соответствующей точке $ u_0=g(x_0)\in\mathcal{D}(f)$. Тогда композиция $ h=f\circ g$ непрерывна в точке $ x_0$.

        Доказательство.     Заметим, что равенство $ \lim\limits_{x\to x_0}g(x)=g(x_0)$ означает, что при $ x\to x_0$ будет $ u=g(x)\to u_0=g(x_0)$. Значит,

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}h(x)=\lim_{x\to x_0}f(g(x))=\lim_{u\to u_0}f(u)=f(u_0)$

(последнее равенство следует из непрерывности функции $ f$ в точке $ u_0$). Значит,

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}h(x)=f(u_0)=f(g(x_0))=h(x_0),$

а это равенство означает, что композиция $ h=f\circ g$ непрерывна в точке $ x_0$.     

Заметим, что, очевидно, в предыдущих двух теоремах можно было бы заменить базу $ x\to x_0$ на односторонние базы $ x\to x_0-$ или $ x\to x_0+$ и получить аналогичные утверждения для непрерывности слева или справа:

        Теорема 3.3   Пусть функции $ f(x)$ и $ g(x)$ непрерывны слева (справа) в точке $ x_0$. Тогда функции $ h_1(x)=f(x)+g(x)$, $ h_2(x)=f(x)-g(x)$, $ h_3(x)=f(x)g(x)$ непрерывны слева (соотв. справа) в точке $ x_0$. Если $ g(x_0)\ne0$, то функция $ h_4(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ также непрерывна слева (спpава) в точке $ x_0$.    

        Теорема 3.4   Пусть функция $ g(x)$ непрерывна слева (справа) в точке $ x_0$, а функция $ f(u)$ непрерывна в точке $ u_0=g(x_0)$. Тогда композиция $ h=f\circ g$ непрерывна слева (соотв. справа) в точке $ x_0$.    

   

      

Восьмая глава изучает хотя и полезное и важное, но всё-таки понятие второго ряда -- понятие кривизны кривых. Здесь определяется также понятие вершины произвольной кривой. Приводятся примеры, которые показывают, что в случае кривых второго порядка (которые более подробно будут изучены в разделе "Аналитическая геометрия") вершины их в новом смысле находятся на привычных местах.

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;