дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Определение точек разрыва

  Пример 3.6   Возьмём $ f(x)=\frac{\sin x}{x}$. Все точки области определения $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\}$ этой элементарной функции являются точками непрерывности. Поскольку $ x_0=0$ не входит в область определения функции $ f(x)$, но $ f(x)$ определена во всех точках любой проколотой окрестности 0, то 0 -- точка разрыва функции $ f(x)$. Разобранный выше пример 3.2 показывает, что если доопределить эту функцию при $ x_0=0$, положив $ {f(0)=1}$, то функция становится непрерывной в точке 0. Значит, 0 -- точка разрыва первого рода для функции $ f(x)=\frac{\sin x}{x}$.     

Рис.3.8.Устранимый разрыв функции $ \frac{\sin x}{x}$


        Пример 3.7   Рассмотрим функцию $ f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}$. Её область определения $ {\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\}}$ состоит из точек непрерывности, так как это элементарная функция. Точка $ {x_0=0}$, в которой функция не определена, -- это точка разрыва функции. Поскольку $ {-\dfrac{1}{x^2}\to-\infty}$ при $ {x\to0}$, то $ {\lim\limits_{x\to0}f(x)=0}$. Это означает, что при $ {x=0}$ функция имеет устранимый разрыв и становится непрерывной на всей вещественной оси, если положить $ {f(0)=0}$.     

Рис.3.9.Устранимый разрыв функции $ e^{-\frac{1}{x^2}}$


        Пример 3.8   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^n\sin\frac{1}{x}$, где $ n\in\mathbb{N}$. При $ x=0$ она имеет разрыв, так как $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\}$. Поскольку $ \sin\frac{1}{x}$ -- ограниченная функция, а $ x^n\to0$ при $ x\to0$, то $ \lim\limits_{x\to0}=0$ (по теореме 2.7). Следовательно, разрыв устранимый, и если доопределить функцию, положив $ f(0)=0$, она становится непрерывной при всех $ x\in\mathbb{R}$.     

Рис.3.10.График функции $ y=x^n\sin\frac{1}{x}$ при $ n=2$


        Пример 3.9   Рассмотрим функцию $ f(x)$, заданную равенством

$\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}\cos^nx.$

При $ x\ne k\pi$, $ k\in\mathbb{Z}$, $ \vert\cos x\vert\in[0;1)$, так что последовательность $ y_n=(\cos x)^n=\cos^nx$ -- это геометрическая прогрессия со знаменателем $ q=\cos x$, $ \vert q\vert<1$, и $ f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}y_n=0.$ При $ x=2k\pi$, $ k\in\mathbb{Z}$, $ \cos x=1$, и все $ y_n=1^n=1$, так что $ f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}y_n=1.$ При $ x=\pi+2k\pi$, $ k\in\mathbb{Z}$, $ \cos x=-1$, и последовательность имеет вид

$\displaystyle y_1=-1,\ y_2=1,\ y_3=-1,\ y_4=1,\dots.$

Эта последовательность предела не имеет, так что функция $ f(x)$ не определена при $ x\in\pi+2k\pi$, $ k\in\mathbb{Z}$.

Рис.3.11.График функции $ f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\cos^nx$


Получаем, что $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{x=\pi+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\}$. Точками разрыва этой функции служат как все точки, не принадлежащие области определения (точки вида $ x=\pi+2k\pi$, $ k\in\mathbb{Z}$), так и все точки вида $ x=2k\pi$, $ k\in\mathbb{Z}$, в которых функция принимает значение 1. Все точки разрыва -- устранимые, так как пределы функции слева и справа в этих точках совпадают и равны 0.     

        Пример 3.10   Рассмотрим функцию $ f(x)=e^{\frac{1}{x}}$; её область определения $ {\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\}}$, и точка $ x=0$ -- точка разрыва. Рассмотрим поведение функции слева и справа от точки разрыва. При $ x\to0-$ будет $ \frac{1}{x}\to-\infty$ и $ f(x)=e^{\frac{1}{x}}\to0$; при $ x\to0+$ будет $ \frac{1}{x}\to+\infty$ и $ f(x)=e^{\frac{1}{x}}\to+\infty$. Итак, значения "на правом берегу" разрыва не существует, и разрыв функции $ f(x)$ в точке $ x=0$ -- второго рода.     

Рис.3.12.График функции $ y=e^{\frac{1}{x}}$


        Замечание 3.1   Если функция $ f(x)$ не определена на интервале, примыкающем к точке $ x_0$ слева или справа, то точку $ x_0$ мы не считаем точкой разрыва функции.     

        Пример 3.11   Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$. Её область определения -- $ {\mathcal{D}(f)=\{x\in\mathbb{R}:1-x^2>0\}=(-1;1)}$. При $ {x\to-1+}$ и при $ {x\to1-}$ знаменатель $ {\sqrt{1-x^2}}$ стремится к 0 и положителен, так что $ {f(x)\to+\infty}$. однако точки $ {x=-1}$ и $ {x=1}$ мы не считаем точками разрыва, так как функция $ f(x)$ не определена при $ {x<-1}$ и при    $ {x>1}$.     

Рис.3.13.График функции $ y=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$


        Пример 3.12   Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\sin\dfrac{1}{x}$. Её область определения -- это $ {\mathcal{D}(f)=\{x\in\mathbb{R}:x>0\}}$. Точка $ {x=0}$ не является точкой разрыва функции $ f(x)$, несмотря на характер её поведения при $ {x\to0+}$, поскольку функция $ f(x)$ не определена при $ {x<0}$.     

Рис.3.14.График функции $ f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\sin\dfrac{1}{x}$



 

Восьмая глава изучает хотя и полезное и важное, но всё-таки понятие второго ряда -- понятие кривизны кривых. Здесь определяется также понятие вершины произвольной кривой. Приводятся примеры, которые показывают, что в случае кривых второго порядка (которые более подробно будут изучены в разделе "Аналитическая геометрия") вершины их в новом смысле находятся на привычных местах.

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования купить сетку- рабицу в Петербурге можно в офисе продаж компании ООО "Корда".;