дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Прямая в пространстве

    Замечание 11.3   Если в качестве параметра $ t$ взять время, то точка $ M$ будет двигаться по прямой со скоростью $ \vert{\bf p}\vert$ , причем в момент времент $ {t=0}$ ее положение совпадает с точкой $ M_0$ . Вектор скорости точки совпадает с вектором p.         

От векторного соотношения (11.12) перейдем к соотношениям координат. Так как $ (x;y;z)$  -- координаты точки $ M$ , то $ {{\bf r}=(x;y;z)}$ , $ {{\bf r}_0=(x_0;y_0;z_0)}$ , $ {t{\bf p}=(tk;tl;tm)}$ . Из формулы (11.12) получим

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} x=kt+x_0,\\ y=lt+y_0,\\ z=mt+z_0.\end{array}\right.$ (11.13)

Полученная система уравнений называется параметрическими уравнениями прямой.

Обратим внимание на то, что по параметрическим уравнениям легко установить направляющий вектор прямой и координаты одной из ее точек. Коэффициенты перед параметром $ t$ дают координаты направляющего вектора, а свободные члены в правой части -- координаты точки на прямой.

Так как направляющий вектор прямой определяется с точностью до умножения на число, отличное от нуля, а в качестве точки $ M_0$ можно взять любую точку прямой, то одна и та же прямая может задаваться бесконечным множеством систем параметрических уравнений. Причем разные системы могут быть не похожими друг на друга.

Из уравнений (11.13) выразим параметр $ t$ :

 

$\displaystyle t=\frac{x-x_0}k,\quad t=\frac{y-y_0}l,\quad t=\frac{z-z_0}m.$

Так как во всех трех соотношениях параметр $ t$ имеет одно и то же значение, то

$\displaystyle \frac{x-x_0}k=\frac{y-y_0}l=\frac{z-z_0}m.$ (11.14)

Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой.

        Замечание 11.4   В канонических уравнениях прямой допускается в знаменателе писать 0. Это не означает, что можно выполнить деление на 0. Просто из канонических уравнений мы получаем информацию о том, что направляющий вектор прямой имеет координаты $ k,\,l,\,m$ , из которых одна нулевая.         

        Пример 11.3   Прямая с каноническими уравнениями

 

$\displaystyle \frac{x-2}1=\frac{y-2}2=\frac{z+5}0$

имеет направляющий вектор $ {\bf p}=(1;2;0)$ .         

        Замечание 11.5   Канонические уравнения прямой (11.14) нельзя рассматривать как одно уравнение (в них два знака "=" и следовательно, два уравнения). Они составляют своеобразным способом записанную систему из двух уравнений

 

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} l(x-x_0)=k(y-y_0),\\ m(x-x_0)=k(z-z_0).\end{array}\right.$

Возможны, впрочем, еще две записи системы, подумайте какие.      

    

Восьмая глава изучает хотя и полезное и важное, но всё-таки понятие второго ряда -- понятие кривизны кривых. Здесь определяется также понятие вершины произвольной кривой. Приводятся примеры, которые показывают, что в случае кривых второго порядка (которые более подробно будут изучены в разделе "Аналитическая геометрия") вершины их в новом смысле находятся на привычных местах.

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;