дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Таблица эквивалентных бесконечно малых при $ x\to0$

Как показывает приведённый выше пример 2.36, пределы отношения бесконечно малых можно упрощать, откидывая бесконечно малые слагаемые большего порядка и заменяя множители в числителе и знаменателе на эквивалентные бесконечно малые. Для того, чтобы этот способ вычисления пределов (точнее, раскрытия неопределённостей вида $ \left[\frac{0}{0}\right]$) можно было применять к возможно большему числу примеров, мы должны иметь достаточно большой запас известных пар эквивалентных бесконечно малых величин. Для наиболее употребительной базы $ x\to0$ создадим такой запас в виде таблицы "стандартных" эквивалентных бесконечно малых.

Поскольку в этой таблице мы всегда будем рассматривать базу $ x\to0$, для простоты записи обозначение этой базы будем пропускать и писать знак $ \sim$ вместо $ \mathrel{\mathop{\sim}\limits_{x\to0}}$.

1) $ \sin x\sim x$. Эту формулу мы уже доказали и использовали в примерах. Эквивалентность $ \sin x$ и $ x$ при $ x\to0$ означает в точности, что первый замечательный предел равен 1.

2) $ \arcsin x\sim x$. Эта эквивалентность тоже была доказана выше в одном из примеров.

3) $ \mathop{\rm tg}\nolimits x\sim x$. Докажем эту эквивалентность:

$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\mathop{\rm tg}\nolimits x}{x}= \lim_{x\to0}\... ...lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}}{\lim\limits_{x\to0}\cos x}=\dfrac{1}{1}=1.$

Цветовые палитры и модели цвета Регистрация параметров ядерного взрыва Дифференциальные уравнения Системы передачи
информации

4) $ \mathop{\rm arctg}\nolimits x\sim x$. Докажите это в качестве упражнения, сделав замену $ z=\mathop{\rm arctg}\nolimits x$ и применив предыдущую табличную формулу.

5) $ 1-\cos x\sim\dfrac{x^2}{2}$. Для доказательства воспользуемся формулой $ 1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}$. Далее, имеем:

\begin{multline*} \lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2/2}= \lim_{x\to0}\dfrac{2\si... ...ot \lim_{x\to0}\dfrac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}=1\cdot1=1. \end{multline*}

Это означает, что доказываемая эквивалентность имеет место.

6) $ \log_a(1+x)\sim\dfrac{x}{\ln a}$ . Для доказательства этой эквивалентности сделаем такое преобразование:

\begin{multline*} \dfrac{\log_a(1+x)}{\dfrac{x}{\ln a}}=\ln a\cdot\dfrac{1}{x}\... ...\dfrac{\ln(1+x)^{\frac{1}{x}}}{\ln a}= \ln(1+x)^{\frac{1}{x}}. \end{multline*}

Для вычисления предела правой части воспользуемся непрерывностью логарифма и вторым замечательным пределом:

$\displaystyle \lim_{x\to0}\ln(1+x)^{\frac{1}{x}}= \ln\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}= \ln e=1,$

и мы доказали формулу 6.

В частном случае, при $ a=e$, получаем эквивалентность

$ 6'$) $ \ln(1+x)\sim x$.

7) $ a^x-1\sim x\ln a$ ( ). Для доказательства сделаем замену $ z=\log_a(1+x)$ и выразим $ x$ через $ z$: $ x=a^z-1$. Согласно формуле 6, при $ x\to0$, откуда $ x\sim z\ln a$. Из непрерывности логарифма следует, что $ z\xrightarrow {x\to0}0$ и, значит, $ a^z-1\sim z\ln a$ при $ {z\to0}$. В этой формуле осталось лишь сменить обозначение переменного $ z$ на $ x$, чтобы получить формулу 7.

В частном случае, при $ a=e$, получаем эквивалентность

$ 7'$) $ e^x-1\sim x$.

Сведём теперь полученные формулы в итоговую таблицу. Всюду в ней $ x\to0$.
1)$ \sin x\sim x$.
2)$ \arcsin x\sim x$.
3)$ \mathop{\rm tg}\nolimits x\sim x$.
4)$ \mathop{\rm arctg}\nolimits x\sim x$.
5)$ 1-\cos x\sim\dfrac{x^2}{2}$.
6)$ \log_a(1+x)\sim\dfrac{x}{\ln a}$ ( ).
$ 6'$)$ \ln(1+x)\sim x$.
7) $ a^x-1\sim x\ln a$ ( ).
$ 7'$)$ e^x-1\sim x$.

Приведём примеры применения табличных формул для раскрытия неопределённостей вида $ \left[\frac{0}{0}\right]$.

     

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;