дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды


Использование непрерывности функций при вычислении пределов

 

   Теорема 2.19   Любая элементарная функция непрерывна в любой точке своей области определения.

Частичное доказательство теоремы мы приведём ниже, в главе о свойствах непрерывных функций. Заметим, что выше мы уже доказали непрерывность функции $ \sin x$. Полное доказательство теоремы можно найти в подробных учебниках по математическому анализу, например, Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1 или С. М. Никольский, Курс математического анализа, т. 1.    

В качестве примера рассмотрим только что введённую функцию $ g(x)=\dfrac{\vert x\vert}{x}$. Её график таков:

2.38.График функции $ g(x)=\frac{\vert x\vert}{x}$

Для любой точки $ x_0$ из области определения этой функции либо $ x_0>0$, и тогда $ g(x)=1$ при всех $ x$ из некоторой окрестности точки $ x_0$, либо $ x_0<0$, и тогда $ g(x)=-1$ при всех $ x$ из некоторой окрестности точки $ x_0$. Очевидно, что тогда в первом случае

$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0}g(x)= \lim\limits_{x\to x_0}1=1=g(x_0),$

а во втором --

$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0}g(x)= \lim\limits_{x\to x_0}(-1)=-1=g(x_0),$

то есть функция непрерывна в любой точке $ x_0$ своей области определения.

В случае функции $ \mathop{\rm sign}\nolimits x$ всё дело "портит" точка $ x_0=0$: очевидно, что

$\displaystyle \lim\limits_{x\to0+}\mathop{\rm sign}\nolimits x= \lim\limits_{x\to0+}1=1\ne0=\mathop{\rm sign}\nolimits 0,$

то есть в точке 0 нет непрерывности справа. (Точно так же нет и непрерывности слева.)

Используя непрерывность элементарных функций, на основании общих теорем можно во многих (простых) случаях находить значение пределов прямой подстановкой предельного значения $ x$ в выражение, стоящее под знаком предела. Именно так мы поступим при вычислении предела в следующем примере.

        Пример 2.29   Найдём предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^2+\cos x}{\sin x+2e^x}$.

Поскольку функция $ f(x)=\dfrac{x^2+\cos x}{\sin x+2e^x}$ -- элементарная, причём $ x_0=0$ -- точка её области определения (так как $ \sin0+2e^0=2\ne0$), то для нахождения предела достаточно воспользоваться равенством (2.6) и подставить вместо $ x$ предельное значение 0:

$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}f(x)=\dfrac{0^2+\cos 0}{\sin 0+2e^0}=\frac{1}{2}.$

    

Прямую подстановку использовать нельзя в тех случаях, когда мы не можем вычислить значение элементарной функции, стоящей под знаком предела, в данной предельной точке $ x_0$. В этом случае говорят, что задающее функцию выражение, а также и сам предел представляют собой неопределённость. Выше мы уже встречались с неопределённостями вида $ [1^{\infty}]$. Бывают ещё неопределённости вида $ [\frac{0}{0}]$, $ [\frac{\infty}{\infty}]$, $ [\infty-\infty]$, $ [\infty\cdot0]$ и других видов, заданные выражениями, не имеющими формального смысла. С символами в этих выражениях нельзя обращаться, как с числами в обычных дробях, разностях, произведениях и т. д. В частности, "дроби" $ [\frac{0}{0}]$, $ [\frac{\infty}{\infty}]$ вовсе не всегда означают пределы, значение которых равно единице. Например, $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{2x}{x}=[\frac{0}{0}]=2$, а $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x}=[\frac{0}{0}]=0$; $ \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x^3}{2x^3}=[\frac{\infty}{\infty}]=\frac{1}{2}$, а $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\mathop{\rm ctg}\nolimits 2x}{\mathop{\rm ctg}\nolimits 5x}=[\frac{\infty}{\infty}]=\frac{5}{2}.$ (Вычислите все эти пределы в качестве упражнения.) "Разности" вида $ [\infty-\infty]$ отнюдь не всегда обозначают неопределённости, которые после раскрытия предела дадут 0. Например, $ \lim\limits_{x\to+\infty}(\sqrt{x-1}-\sqrt{x-3})=[\infty-\infty]=0$ (здесь на самом деле получается 0), а $ \lim\limits_{x\to\infty}(\sqrt{x^2-2x+3}-\sqrt{x^2-3x+2})=[\infty-\infty]= \frac{1}{2}$. (Эти два примера будут вам предложены для решения ниже, в разделе Упражнения на вычисление пределов.)

Так что получается, что вся теория вычисления (нетривиальных) пределов -- это изучение способов раскрытия неопределённостей.

Во многих случаях, чтобы раскрыть неопределённость, достаточно каким-либо образом преобразовать стоящую под знаком предела функцию, после чего нахождение предела сводится к применению общих теорем (о пределе суммы, произведения, частного и т. п.), а также теорем о первом и втором замечательных пределах. Многие такие примеры мы разбирали выше. А вот ещё один типичный пример.

        Пример 2.30   Найдём предел $ \lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-3x+2}{x^2-6x+8}$.

Данный предел представляет собой неопределённость, так как при $ x=2$ как числитель, так и знаменатель обращаются в 0 (это неопределённость вида $ \left[\frac{0}{0}\right]$). Так что просто подставить 2 вместо $ x$ в исходную дробь нельзя. Однако если разложить числитель и знаменатель на множители (для чего найдём корни числителя: $ x=1$ и $ x=2$ -- и знаменателя: $ x=2$ и $ x=4$), получим $ x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ и $ x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$, и видно, что дробь (при $ x\ne2$) можно упростить, сократив на $ (x-2)$. Поскольку при $ x\to2$ мы считаем, что $ x\ne2$, то

$\displaystyle \lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-3x+2}{x^2-6x+8}=\lim_{x\to2}\dfrac{x-1}{x-4}.$

В последнем пределе дробь $ \dfrac{x-1}{x-4}$ непрерывна при $ x=2$, так как точка 2 входит в область определения этой элементарной функции. Поэтому $ \lim\limits_{x\to2}\dfrac{x-1}{x-4}=\dfrac{2-1}{2-4}=-\dfrac{1}{2}$ и, следовательно,

$\displaystyle \lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-3x+2}{x^2-6x+8}=-\dfrac{1}{2}.$

    

        Упражнение 2.7   Найдите предел $ \lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-5x+4}{x^2-4x+3}$. (При этом числитель и знаменатель можно сократить на $ (x-1)$. Ответ: $ \dfrac{3}{2}$.)     

        Упражнение 2.8   Найдите предел $ \lim\limits_{x\to\pi}\dfrac{\sin^22x}{\sin4x}$. (При этом знаменатель можно представить в виде $ 2\sin2x\cos2x$, а затем сократить дробь на $ \sin2x$. Ответ: 0.)     

 

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;