дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Общие свойства пределов

 
  Теорема 2.12 (теорема о пределе неотрицательной величины)   Пусть $ f(x)\geqslant 0$ при всех $ x$ из некоторого окончания $ E$ базы $ \mathcal{B}$ и существует $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$. Тогда $ L\geqslant 0$. Иными словами, при переходе к пределу знак нестрогого неравенства сохраняется.

        Доказательство.     Если бы предел $ L$ был отрицательным, то можно было бы взять $ {\varepsilon}=-\frac{L}{2}>0$ и найти такое окончание базы $ E_1$, что при $ x\in E_1$ выполняется неравенство $ -{\varepsilon}=\frac{L}{2}<f(x)-L<{\varepsilon}=-\frac{L}{2}$, откуда $ \frac{3L}{2}<f(x)<\frac{L}{2}<0$. Это же будет выполнено на некотором окончании $ E_2\sbs E\cap E_1$, что противоречит предположению, что $ f(x)\geqslant 0$ при всех $ x\in E$. Противоречие доказывает, что отрицательным предел $ L$ быть не может, то есть $ L\geqslant 0$.     

        Следствие 2.6   Пусть $ f(x)\leqslant 0$ при всех $ x$ из некоторого окончания $ E$ базы $ \mathcal{B}$ и существует $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$. Тогда $ L\leqslant 0$.

        Доказательство.     Для доказательства достаточно взять функцию $ f_1(x)=-f(x)\geqslant 0$, применить к ней доказанную только что теорему и воспользоваться тем, что знак минус можно вынести за знак предела (по свойству линейности предела).     

        Следствие 2.7 (переход к пределу в нестрогом неравенстве)   Пусть при всех $ x$ из некоторого окончания $ E$ базы $ \mathcal{B}$ выполняется неравенство $ {f_1(x)\leqslant f_2(x)}$. Предположим, что существуют пределы $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f_1(x)=L_1$ и $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f_2(x)=L_2$. Тогда $ L_1\leqslant L_2$ (то есть значения пределов связаны тем же нестрогим неравенством, что и функции). То же верно для нестрогого неравенства $ \geqslant $.

        Доказательство.     Рассмотрим функцию $ g(x)=f_2(x)-f_1(x)$. По условию теоремы, $ g(x)\geqslant 0$, причём

$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)= \lim\limits_{\mathcal{B}}f_1(x)-\lim\limits_{\mathcal{B}}f_2(x)=L_2-L_1.$

Применим к функции $ g(x)$ теорему о пределе неотрицательной величины и получим, что $ L_2-L_1\geqslant 0$, то есть $ L_2\geqslant L_1$, что и требовалось доказать. Для другого нестрогого неравенства доказательство аналогично.     

        Замечание 2.6   Аналогичные утверждения для строгих неравенств ($ >$ и $ <$) неверны. Для того, чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть предел $ \lim\limits_{x\to0+}x$. Очевидно, он равен 0, хотя при любом $ x$ из любого окончания $ (0;{\delta})$ базы $ x\to0+$ величина $ f(x)=x$ строго положительна.    

Рис.2.22.Предел строго положительной величины может оказаться равным 0


Напомним, что функция $ f(x)$ называется не убывающей на множестве $ {A\sbs\mathbb{R}}$, если для любых $ {x_1,x_2\in A}$, таких что $ {x_1<x_2}$, выполняется неравенство $ {f(x_1)\leqslant f(x_2)}$, и не возрастающей на $ A$, если при $ {x_1,x_2\in A}$ и $ {x_1<x_2}$ выполняется неравенство $ {f(x_1)\geqslant f(x_2)}$.

Матрицы Математика Примеры решения задач

  • Определение, обозначения и типы матриц
  • Сложение матриц и умножение на число
  • Символ суммирования
  • Умножение матриц
  • Транспонирование матрицы
  • Определители
  • Обратная матрица
  • Ранг матрицы

Данная глава опирается на теоретические результаты предыдущих глав, так что по мере её изучения вам, возможно, придётся обращаться к теоремам тех глав, которые Вы пропустили или лишь бегло изучили при первом чтении.

С практической точки зрения в приложениях, эта глава может оказаться наиболее ценной для применения математических методов при изучении других дисциплин, особенно технического и экономического характера, так что эту главу изучить надо непременно, хотя для понимания дальнейших математических разделов (теоретического, а не вычислительного характера) результаты этой главы не обязательны.

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;