дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства

   Пример 2.13   Пусть $ {\alpha}(x)=\dfrac{1}{x}$ и $ f(x)=\sin x$. Так как $ {\alpha}(x)$ бесконечно мала, а $ f(x)$ локально ограничена при базе $ x\to\pm\infty$, то их произведение $ \dfrac{1}{x}\cdot\sin x=\dfrac{\sin x}{x}$ -- бесконечно малая при $ x\to\pm\infty$, а также при $ x\to+\infty$ и при $ x\to-\infty$ (см.  упражнение 2.4).    

Рис.2.19.График $ y=\dfrac{\sin x}{x}$

Клоны и клонирование эффектов Доклады экспертов Минатома и Минобороны России Математический анализ

        Пример 2.14   В предыдущем примере сделаем замену $ t=\frac{1}{x}$. Тогда, очевидно, функция $ \dfrac{\sin x}{x}$ перейдёт в функцию $ t\sin\frac{1}{t}$, а базы $ x\to\pm\infty$, $ x\to+\infty$ и $ x\to-\infty$, соответственно, в базы $ t\to0$, $ t\to0+$ и $ t\to0-$. Значение предела $ \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\sin x}{x}=0$ при замене не изменится, так что $ \lim\limits_{t\to0}t\sin\frac{1}{t}=0.$    

Рис.2.20.График функции $ t\sin\dfrac{1}{t}$


        Следствие 2.2   Пусть $ C$ -- постоянная и $ {\alpha}(x)$ -- бесконечно малая при базе $ \mathcal{B}$. Тогда $ C{\alpha}(x)$ -- тоже бесконечно малая при базе  $ \mathcal{B}$.

        Доказательство.     Достаточно заметить, что $ C$ локально ограничена при базе $ \mathcal{B}$ и сослаться на предыдущую теорему.     

        Следствие 2.3   Пусть $ {\alpha}_1(x),{\alpha}_2(x),\dots,{\alpha}_n(x)$ -- бесконечно малые при базе $ \mathcal{B}$ и $ C_1,C_2,\dots,C_n$ -- произвольные постоянные. Тогда величина вида

$\displaystyle {\beta}(x)=C_1{\alpha}_1(x)+C_2{\alpha}_2(x)+\ldots+C_n{\alpha}_n(x)$

является бесконечно малой при базе $ \mathcal{B}$.

        Доказательство.     Чтобы доказать это следствие, достаточно заметить, что все слагаемые являются бесконечно малыми, согласно предыдущему следствию, а затем применить утверждение следствия 2.1.     

        Замечание 2.1   Утверждение доказанного следствия, с алгебраической точки зрения, означает, что множество $ \mathcal{L}^0_{\mathcal{B}}$ всех функций, определённых на некотором фиксированном окончании $ E$ базы $ \mathcal{B}$ и бесконечно малых при этой базе $ \mathcal{B}$, имеет структуру линейного пространства: любые элементы этого пространства можно умножать на постоянные и складывать, не выходя за рамки этого пространства.

     

Матрицы Математика Примеры решения задач

Данная глава опирается на теоретические результаты предыдущих глав, так что по мере её изучения вам, возможно, придётся обращаться к теоремам тех глав, которые Вы пропустили или лишь бегло изучили при первом чтении.

С практической точки зрения в приложениях, эта глава может оказаться наиболее ценной для применения математических методов при изучении других дисциплин, особенно технического и экономического характера, так что эту главу изучить надо непременно, хотя для понимания дальнейших математических разделов (теоретического, а не вычислительного характера) результаты этой главы не обязательны.

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;