дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

 

Замена переменного и преобразование базы при такой замене

     Пример 2.7   Пусть производится замена $ t={\varphi}(x)=x^2$ при базе $ x\to1$. Интуитивно ясно, что когда $ x$ приближается к 1, то и $ t=x^2$ тоже будет приближаться к 1, причём "ловушки" предыдущего примера здесь нет: так как при $ x\geqslant 0$ функция $ x^2$ возрастает, то при $ x<1$ и близких к 1 будет получаться $ t<1$, близкое к 1, а при $ x>1$ и близких к 1 будет получаться $ t>1$, близкое к 1. Поэтому должна бы, вроде, при такой замене получиться база $ t\to1$. Однако и это не вполне так. Глядя на следующий чертёж, можно заметить, что образ окончания $ (1-{\delta};1+{\delta})\diagdown \{1\}$ -- это множество

$\displaystyle ((1-{\delta})^2;(1+{\delta})^2)\diagdown \{1\}=(1-2{\delta}+{\delta}^2;1)\cup(1;1+2{\delta}+{\delta}^2).$

Эти два интервала, примыкающие к точке 1 слева и справа, имеют разную длину: левый имеет длину $ 2{\delta}-{\delta}^2$, а правый -- длину $ 2{\delta}+{\delta}^2$, то есть левый короче правого на $ 2{\delta}^2$.

Рис.2.15.График $ t=x^2$ и преобразование базы $ x\to1$


Однако по определению базы $ t\to1$ окончания этой базы состоят из пары примыкающих к точке 1 симметричных интервалов! Так что формально получилась не база $ t\to1$, а нечто на неё похожее, но не совсем то же самое.    

На самом деле получившаяся в этом примере после замены база $ \mathcal{B}'={\varphi}(\mathcal{B})$ эквивалентна базе $ t\to1$ в смысле следующего определения.

        Определение 2.8   Две базы $ \mathcal{B}$ и $ \mathcal{B}'$ назовём эквивалентными, если в любом окончании $ {E\in\mathcal{B}}$ содержится некоторое окончание $ {E'\in\mathcal{B}'}$, и наоборот, в любом окончании $ {E'\in\mathcal{B}'}$ содержится некоторое окончание $ {E''\in\mathcal{B}}$.    

Базы $ {\mathcal{B}=\{t\to1\}}$ и $ {\mathcal{B}'={\varphi}(x\to1)}$, рассмотренные в предыдущем примере, эквивалентны, так как любое несимметричное окончание базы $ \mathcal{B}'$, имеющее, как мы выяснили, вид $ {E'=(1-2{\delta}+{\delta}^2;1)\cup(1;1+2{\delta}+{\delta}^2)}$, содержится в симметричном окончании $ {E=(1-2{\delta}-{\delta}^2;1)\cup(1;1+2{\delta}+{\delta}^2)}$ и содержит симметричное окончание $ {E''=(1-2{\delta}+{\delta}^2;1)\cup(1;1+2{\delta}-{\delta}^2)}$ базы $ \mathcal{B}$.

Пределы, вычисленные по эквивалентным базам, совпадают, так что эквивалентные базы нет смысла отличать друг от друга. В этом мы убедимся, доказав следующую теорему.

        Теорема 2.3   Пусть $ \mathcal{B}$ и $ \mathcal{B}'$ -- две эквивалентные базы, и существует $ {\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L}$. Тогда предел $ {\lim\limits_{\mathcal{B}'}f(x)=L'}$ тоже существует, и $ L'=L$.

        Доказательство.     Пусть фиксировано число $ {\varepsilon}>0$. Так как по предположению теоремы $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$, то для этого $ {\varepsilon}$ можно указать такое окончание $ E$ базы $ \mathcal{B}$, при любом $ x$ из которого будет $ \vert f(x)-L\vert<{\varepsilon}$. Поскольку база $ \mathcal{B}'$ эквивалентна базе $ \mathcal{B}$, найдётся окончание $ E'\in\mathcal{B}'$, такое что $ E'\sbs E$; следовательно, $ \vert f(x)-L\vert<{\varepsilon}$ при любом $ x\in E'$. Значит, $ \lim\limits_{\mathcal{B}'}f(x)=L$, что и требовалось доказать.     

Итак, вычисление пределов по эквивалентным базам даёт один и тот же результат, и в дальнейшем мы не будем различать эквивалентные базы, в том числе и при их обозначении. В частности, все базы, эквивалентные введённой выше базе $ x\to x_0$, мы будем тоже обозначать $ x\to x_0$, все базы, эквивалентные введённой выше базе $ n\to\infty$, -- обозначать $ n\to\infty$, и т. п.

 

Шестая глава изучает формулу Тейлора -- способ приближённого представления числовой функции многочленом. Важность результатов этой главы выяснится при изучении математики в последующих семестрах, хотя некоторые важные следствия формулы Тейлора (например, оценки для формул приближённого дифференцирования) мы получаем уже в этой же главе. В следующих главах раздела "Математический анализ" в этом учебнике формула Тейлора также используется, хотя и не очень часто.

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;