дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Замена переменного и преобразование базы при такой замене

Часто при вычислении какого-либо предела естественно для упрощения выражения, от которого берётся предел, сделать некоторую замену переменного. Пусть, например, требуется вычислить

$\displaystyle \lim_{x\to-\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin^2x+2\sin x+1}{\sin^2x-\sin x+2}.$

Тогда естественно с целью упрощения сделать замену $ s=\sin x$: при этом функция, от которой берётся предел, упростится и будет иметь вид $ f(s)=\dfrac{s^2+2s+1}{s^2-s+2}$. Однако при этом нужно знать, как изменится база предела: что мы должны написать вместо $ x\to-\frac{\pi}{2}$ под знаком предела от функции $ f(s)$?

Рассмотрим общую ситуацию. Пусть (например, для упрощения выражения) предлагается сделать некоторую замену $ t={\varphi}(x)$, при этом исходный предел вычислялся при базе $ \mathcal{B}$, состоящей из некоторых окончаний $ E$. Тогда база множеств, которым принадлежит параметр $ t$, будет состоять из образов окончаний $ E$ при отображении их функцией $ {\varphi}(x)$: надо посмотреть, куда перейдёт произвольное окончание старой базы при действии функции $ {\varphi}$. Получится набор множеств $ {\varphi}(\mathcal{B})=\{{\varphi}(E)\}=\mathcal{B}'$, где множества $ {\varphi}(E)$ состоят из всех таких точек $ t$, что $ t={\varphi}(x)$ при некотором $ x\in E$.

Рис.2.12.Преобразование базы $ x\to x_0$ под действием функции $ {\varphi}(x)$

Цветовые палитры и модели цвета Регистрация параметров ядерного взрыва Дифференциальные уравнения Системы передачи
информации



        Теорема 2.2   Пусть $ \mathcal{B}$ -- некоторая база и $ {\varphi}(x)$ -- некоторая функция, определённая на каком-нибудь окончании базы $ \mathcal{B}$. Тогда множество $ \mathcal{B}'={\varphi}(\mathcal{B})$ -- это тоже база.

        Доказательство.     Во-первых, все множества $ E'={\varphi}(E)$ не пусты, так как не пусты множества $ E$: если $ x\in E$, то $ E'$ содержит, по крайней мере, точку $ {\varphi}(x)$. Осталось показать, во-вторых, что если $ E_1'={\varphi}(E_1)$ и $ E_2'={\varphi}(E_2)$ (где $ E_1,E_2\in\mathcal{B}$) -- два множества из $ \mathcal{B}'$, то найдётся такое множество $ E_3'={\varphi}(E_3)$ ( $ E_3\in\mathcal{B}$), что $ E_3'\sbs E_1'\cap E_2'$. Множество $ E_1'\cap E_2'={\varphi}(E_1)\cap{\varphi}(E_2)$, по определению, состоит из всех точек $ {\varphi}(x)$, где $ x\in E_1$ и $ x\in E_2$ одновременно, то есть $ x\in E_1\cap E_2$. Рассмотрим теперь некоторое окончание $ E_3\sbs E_1\cap E_2$ (такое окончание найдётся, по определению базы $ \mathcal{B}$) и соответствующее множество $ E_3'={\varphi}(E_3)$. Тогда все значения $ {\varphi}(x)$ при $ x\in E_3$ будут среди значений $ {\varphi}(x)$ при $ x\in E_2\cap E_3$, то есть $ {\varphi}(E_3)=E_3'\sbs{\varphi}(E_1)\cap{\varphi}(E_2)=E_1'\cap E_2'$, что и требовалось показать.     

Иногда получается, что если $ \mathcal{B}$ -- одна из знакомых нам рассмотренных выше баз, то и $ {\varphi}(\mathcal{B})=\mathcal{B}'$ -- это тоже база известного типа.

Шестая глава изучает формулу Тейлора -- способ приближённого представления числовой функции многочленом. Важность результатов этой главы выяснится при изучении математики в последующих семестрах, хотя некоторые важные следствия формулы Тейлора (например, оценки для формул приближённого дифференцирования) мы получаем уже в этой же главе. В следующих главах раздела "Математический анализ" в этом учебнике формула Тейлора также используется, хотя и не очень часто.

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования Рекомендуем производим клееный брус от Буковель-дом;batch image resizer;7 МЗ: бак нержавеющий, акции.;