дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Уравнение плоскости

Пусть в трехмерном пространстве задана декартова прямоугольная система координат. Попробуем установить, какой вид может иметь уравнение плоскости. Для этого заметим, что все плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны друг другу.

        Определение 11.2   Любая прямая, перпендикулярная плоскости, называется нормалью к плоскости, а любой ненулевой вектор на такой прямой мы будем называть нормальным вектором плоскости.         

        Замечание 11.1   Из определения видно, что нормальный вектор у фиксированной плоскости определяется не однозначно. Все нормальные векторы одной плоскости коллинеарны друг другу и поэтому получаются один из другого умножением на число, отличное от нуля.         

Для того чтобы из параллельных плоскостей выбрать одну, достаточно задать точку, через которую проходит эта плоскость. Итак, если у плоскости известны нормальный вектор и точка, через которую она проходит, то плоскость определена однозначно.

        Теорема 11.1   Пусть вектор $ {\bf n}=(A,B,C),\quad{\bf n}\ne0,$ является нормальным вектором плоскости $ \Pi$ , проходящей через точку $ M_0(x_0,y_0,z_0)$ . Тогда уравнение

$\displaystyle A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$(11.1)

является уравнением плоскости $ \Pi$ .

Цветовые палитры и модели цвета Регистрация параметров ядерного взрыва Дифференциальные уравнения Системы передачи
информации

        Доказательство.     Пусть $ M(x,y,z)$  -- некоторая точка плоскости $ \Pi$ (рис. 11.1). Иногда говорят "текущая точка" плоскости, так как предполагается, что ее координаты меняются и точка пробегает всю плоскость.




Рис.11.1.


Вектор $ \overrightarrow {M_0M}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$ лежит на плоскости $ \Pi$ . Следовательно, вектор $ \overrightarrow {M_0M}$ ортогонален вектору n. Если же взять точку $ Q$ , не лежащую на плоскости $ \Pi$ , то вектор $ \overrightarrow {M_0Q}$ не будет ортогональным вектору n. Так как условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения (свойство 8, теорема 10.2), то условием того, что точка $ M$ лежит в плоскости $ \Pi$ , является выполнение равенства

$\displaystyle {\bf n}\cdot\overrightarrow {M_0M}=0.$(11.2)
Цветовые палитры и модели цвета Регистрация параметров ядерного взрыва Дифференциальные уравнения Системы передачи
информации

Выразив скалярное произведение в левой части этого равенства через координаты сомножителей по формуле (10.1), получим формулу (11.1).     

Пусть r -- радиус-вектор текущей точки $ M$ плоскости $ \Pi$ , $ {\bf r}_0$  -- радиус-вектор точки $ M_0$ . Тогда уравнение (11.2) можно переписать в виде

 

$\displaystyle {\bf n}\cdot({\bf r}-{\bf r}_0)=0.$

Такое уравнение обычно называют векторным уравнением плоскости $ \Pi$ .

Раскроем скобки в уравнении (11.1). Так как точка $ M_0$  -- фиксированная, то выражение $ -Ax_0-By_0-Cz_0$ является числом, которое обозначим буквой $ D$ . Тогда уравнение (11.1) принимает вид

$\displaystyle Ax+By+Cz+D=0.$(11.3)

Такое уравнение называется общим уравнением плоскости. Еще раз отметим, что в этом уравнении хотя бы один из коэффициентов $ A,\,B,\,C$ отличен от нуля, так как $ {\bf n}\ne0$ .

Верно и обратное утверждение:

Шестая глава изучает формулу Тейлора -- способ приближённого представления числовой функции многочленом. Важность результатов этой главы выяснится при изучении математики в последующих семестрах, хотя некоторые важные следствия формулы Тейлора (например, оценки для формул приближённого дифференцирования) мы получаем уже в этой же главе. В следующих главах раздела "Математический анализ" в этом учебнике формула Тейлора также используется, хотя и не очень часто.

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;