дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

 

Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи

   Пример 2.2   Покажем, что предел последовательности $ y_n=\dfrac{1}{n^2}$ равен 0.

Рис.2.4.Последовательность $ \dfrac{1}{n^2}$


Фиксируем произвольное число $ {\varepsilon}>0$ и подберём число $ N$ в зависимости от $ {\varepsilon}$ так, чтобы при $ n>N$ выполнялось неравенство $ \vert y_n-0\vert<{\varepsilon}$, то есть $ \dfrac{1}{n^2}<{\varepsilon}$. Решая это неравенство, получаем, что оно выполняется при $ n>\dfrac{1}{\sqrt{{\varepsilon}}}$. Значит, достаточно выбрать в качестве $ N$ натуральное число, ближайшее к $ \dfrac{1}{\sqrt{{\varepsilon}}}$ справа на вещественной оси, то есть $ N=\lceil\dfrac{1}{\sqrt{{\varepsilon}}}\rceil$, и тогда при любом $ n>N$ неравенство $ \dfrac{1}{n^2}<{\varepsilon}$ будет верным. Это означает, что

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\dfrac{1}{n^2}=0,$

или $ \dfrac{1}{n^2}\xrightarrow {n\to\infty}0$.    

Совершенно аналогично определению предела последовательности выглядит следующее определение.

        Определение 2.3   Предел функции $ f(x)$ при условии $ x\rightarrow +\infty$.

Определим окрестности бесконечности как множества точек $ x$, заданные неравенствами $ x>a$, то есть лучи $ (a;+\infty)$. Потребуем, чтобы для любой, сколь угодно малой, окрестности $ (y_0-{\varepsilon};y_0+{\varepsilon})$ точки $ y_0$ можно было найти такую окрестность бесконечности $ (a_{{\varepsilon}};+\infty)$, что при попадании $ x$ в эту окрестность, то есть при $ x>a_{{\varepsilon}}$, соответствующее значение $ y=f(x)$ попадает в заданную вначале окрестность точки $ y_0$, то есть выполняется неравенство $ \vert f(x)-y_0\vert<{\varepsilon}$. Выполнение этого требования будет означать, что $ y_0$ -- предел функции $ f(x)$ при условии $ x\rightarrow +\infty$, то есть

$\displaystyle y_0=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x).$

Рис.2.5.Предел при $ x\to+\infty$


Тот факт, что $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=y_0$, записывают ещё в виде

$\displaystyle f(x)\xrightarrow {x\to+\infty}y_0.$

    

        Пример 2.3   Покажем, что предел функции $ f(x)=\dfrac{3x-2}{x+1}$ при $ x\to+\infty$ равен числу 3.

Рис.2.6.График функции $ y=\dfrac{3x-2}{x+1}$


Фиксируем $ {\varepsilon}>0$ и подберём по этому числу $ {\varepsilon}$ такое число $ a$, что при любом $ x>a$ выполняется неравенство

$\displaystyle \left\vert\dfrac{3x-2}{x+1}-3\right\vert<{\varepsilon}.$

Сразу будем считать, что $ a$ -- неотрицательное число. Неравенство можно записать в виде $ \left\vert-\dfrac{5}{x+1}\right\vert<{\varepsilon}$ или $ \vert x+1\vert>\dfrac{5}{{\varepsilon}}$. Так как $ x>a\geqslant 0$, то $ x+1>0$ и неравенство имеет вид $ x+1>\dfrac{5}{{\varepsilon}}$, откуда $ x>\dfrac{5}{{\varepsilon}}-1$. Если теперь взять число $ a_{{\varepsilon}}$ равным $ \dfrac{5}{{\varepsilon}}-1$ (или равным 0, если эта разность отрицательна), то при $ x>a_{{\varepsilon}}$ будет выполняться неравенство $ \left\vert\dfrac{3x-2}{x+1}-3\right\vert<{\varepsilon}$; это означает, что

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x-2}{x+1}=3,$

или $ \dfrac{3x-2}{x+1}\xrightarrow {x\to+\infty}3$.    

        Упражнение 2.1   Опираясь на свою интуицию и здравый смысл, сформулируйте определение предела функции $ f(x)$ при условии $ x\rightarrow -\infty$. Для этого ответьте на предварительный вопрос: какие множества естественно назвать окрестностями $ -\infty$?

Рис.2.7.Предел при $ x\to-\infty$


Пользуясь этим определением, покажите, что $ \lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{3x+2}{2x-5}=\dfrac{3}{2}$.    

Шестая глава изучает формулу Тейлора -- способ приближённого представления числовой функции многочленом. Важность результатов этой главы выяснится при изучении математики в последующих семестрах, хотя некоторые важные следствия формулы Тейлора (например, оценки для формул приближённого дифференцирования) мы получаем уже в этой же главе. В следующих главах раздела "Математический анализ" в этом учебнике формула Тейлора также используется, хотя и не очень часто.

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;