дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи

Пусть задана некоторая меняющаяся величина $ y$, зависящая от переменного $ x$. Предположим, что это переменное $ x$ можно менять так, что выполняется некоторое условие $ \mathcal{B}$: переменное "приближается" ("стремится") к чему-нибудь (что это означает, мы уточним позже при помощи строгих определений). Тогда встаёт вопрос о том, не ведёт ли себя величина $ y$ каким-либо "правильным" образом, тоже "стремясь" к чему-нибудь, например, к числу $ L$. Если это так, то это "что-то" называется пределом величины $ y$ при данном условии $ \mathcal{B}$ для $ x$ и обозначается

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}y.$

Дадим теперь строгие определения предела в некоторых частных случаях, а потом перейдём к обсуждению общего определения.

        Определение 2.1   Предел функции при $ x\rightarrow x_0$.

Цветовые палитры и модели цвета Регистрация параметров ядерного взрыва Дифференциальные уравнения Системы передачи
информации

Пусть $ y=f(x)$ -- это функция вещественного переменного $ x$, определённая во всех точках интервала $ (a;b)$, кроме, быть может, точки $ x_0\in(a;b)$. Дадим определение предела величины $ y$ при условии, что $ x$ стремится к точке $ x_0$. Это условие кратко обозначается $ x\rightarrow x_0$. Стремление $ x$ к $ x_0$ означает, что при своём изменении $ x$ оказывается во всё более узких окрестностях, окружающих точку $ x_0$, но не совпадает с $ x_0$, то есть значение $ \vert x-x_0\vert$ становится всё меньше и меньше, приближаясь к 0, но нулём не становится. При этом может оказаться, что соответствующие $ x$ значения $ y=f(x)$ становятся всё ближе и ближе к некоторому фиксированному числу $ y_0$, причём для любой, сколь угодно малой, окрестности числа $ y_0$ можно указать, насколько близко $ x$ должен подойти к $ x_0$, чтобы значения $ y=f(x)$ уже попадали в эту окрестность числа $ y_0$. Тогда число $ y_0$ есть предел функции $ f(x)$ при условии $ x\rightarrow x_0$, что записывается так:

$\displaystyle y_0=\lim_{x\rightarrow x_0}f(x).$

Рис.2.1.Предел при $ x\to x_0$


Формализуем сказанное для придания большей математической ясности. Любая окрестность точки $ y_0$ (симметричная относительно $ y_0$) характеризуется её полушириной $ {\varepsilon}>0$, то есть имеет вид интервала $ (y_0-{\varepsilon};y_0+{\varepsilon})$. Если значение $ y$ попало в такую $ {\varepsilon}$-окрестность, то это означает, что $ \vert y-y_0\vert<{\varepsilon}$. Любая окрестность точки $ x_0$, не содержащая самой точки $ x_0$ (и симметричная относительно $ x_0$), -- это объединение двух смежных интервалов3 $ {(x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta})=(x_0-{\delta};x_0+{\delta})\diagdown \{x_0\}}$. Попадание точки $ x$ в эту окрестность означает, что выполнено неравенство $ \vert x-x_0\vert<{\delta}$ и $ x\ne x_0$. Равенство $ y_0=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$ означает тогда, что

для любого, сколь угодно малого, числа $ {\varepsilon}>0$ можно найти такое число $ {\delta}>0$ (зависящее от $ {\varepsilon}$), что при $ \vert x-x_0\vert<{\delta},\ x\ne x_0$ будет $ \vert f(x)-y_0\vert<{\varepsilon}$.

 

При этом число $ y_0$ называется пределом функции $ f(x)$ при условии $ x\rightarrow x_0$. Тот факт, что $ \lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=y_0$, записывают ещё в виде

$\displaystyle f(x)\xrightarrow {x\to x_0}y_0.$

Шестая глава изучает формулу Тейлора -- способ приближённого представления числовой функции многочленом. Важность результатов этой главы выяснится при изучении математики в последующих семестрах, хотя некоторые важные следствия формулы Тейлора (например, оценки для формул приближённого дифференцирования) мы получаем уже в этой же главе. В следующих главах раздела "Математический анализ" в этом учебнике формула Тейлора также используется, хотя и не очень часто.

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;