дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Деструктор Точечные изображения как объекты Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную Числовые ряды

Смешанное произведение

     

        Предложение 10.28   Смешанное произведение линейно по каждому аргументу.

        Линейность операции по какому-то аргументу означает выполнение двух условий:

1) если аргумент умножить на число, то и результат умножится на это число, то есть числовой множитель аргумента можно вынести за знак операции;

2) если аргумент заменить суммой двух слагаемых, то результат будет равен сумме результатов для каждого слагаемого.

Со свойством линейности мы уже встречались при изучении скалярного произведения векторов (свойства 2,3  теорема 10.2), векторного произведения ( предложения 10.20, 10.21), в математическом анализе свойством линейности обладают операции нахождения предела, дифференцирования, интегрирования.

В частности, утверждение, что смешанное произведение линейно по второму аргументу, означает:

1) $ {\bf a}({\lambda}{\bf b}){\bf c}={\lambda}({\bf a}{\bf b}{\bf c})$ ;

2) $ {\bf a}({\bf b}_1+{\bf b}_2){\bf c}={\bf a}{\bf b}_1{\bf c}+{\bf a}{\bf b}_2{\bf c}$ .

        Доказательство  предложения 10.28.    Соотношения $ ({\lambda}{\bf a}){\bf b}{\bf c}={\lambda}({\bf a}{\bf b}{\bf c})$ и $ {({\bf a}_1+{\bf a}_2){\bf b}{\bf c}= {\bf a}_1{\bf b}{\bf c}+{\bf a}_2{\bf b}{\bf c}}$ следуют из того, что abc является скалярным произведением a на $ {\bf b}\times {\bf c}$ и из линейности скалярного произведения (свойства 2,3,  теорема 10.2).

Для второго аргумента: в силу равенства (10.8) выполнено $ {{\bf a}{\bf b}{\bf c}={\bf b}{\bf c}{\bf a}}$ , поэтому

 

$\displaystyle {\bf a}({\lambda}{\bf b}){\bf c}=({\lambda}{\bf b}){\bf c}{\bf a}={\lambda}({\bf b}{\bf c}{\bf a})={\lambda}({\bf a}{\bf b}{\bf c}),$

 

$\displaystyle {\bf a}({\bf b}_1+{\bf b}_2){\bf c}=({\bf b}_1+{\bf b}_2){\bf c}{... ...f a}+{\bf b}_2{\bf c}{\bf a}= {\bf a}{\bf b}_1{\bf c}+{\bf a}{\bf b}_2{\bf c}.$

Для третьего аргумента свойство линейности доказывается аналогично.    

Теперь подготовлен аппарат для доказательства  предложения 10.21.

        Доказательство  предложения 10.21.    Выберем в пространстве правый ортонормированный базис i,j,k. Пусть $ {{\bf d}={\bf a}\times ({\bf b}+{\bf c})}$ , $ {{\bf d}=({\alpha};{\beta};{\gamma})}$ , $ {{\bf d}_1={\bf a}\times {\bf b}}$ , $ {{\bf d}_1=({\alpha}_1;{\beta}_1;{\gamma}_1)}$ , $ {{\bf d}_2={\bf a}\times {\bf c}}$ , $ {{\bf d}_2=({\alpha}_2;{\beta}_2;{\gamma}_2)}$ . Нам нужно доказать, что $ {{\bf d}={\bf d}_1+{\bf d}_2}$ , то есть что выполняются равенства: $ {{\alpha}={\alpha}_1+{\alpha}_2}$ , $ {{\beta}={\beta}_1+{\beta}_2}$ , $ {{\gamma}={\gamma}_1+{\gamma}_2}$ .

В силу  предложения 10.16

 

$\displaystyle {\alpha}= Пр_{\bf i}{\bf d}=\frac {{\bf i}{\bf d}}{\vert{\bf i}\v... ... d}={\bf i}({\bf a}\times ({\bf b}+{\bf c}))= {\bf i}{\bf a}({\bf b}+{\bf c}).$

По свойству линейности смешанного произведения

 

$\displaystyle {\alpha}={\bf i}{\bf a}{\bf b}+{\bf i}{\bf a}{\bf c}= {\bf i}{\bf d}_1+{\bf i}{\bf d}_2={\alpha}_1+{\alpha}_2.$

Аналогично доказываются равенства $ {\beta}={\beta}_1+{\beta}_2$ , $ {\gamma}={\gamma}_1+{\gamma}_2$ .    

Комплексные числа

Седьмая глава -- это одна из самых выжных глав в математическом анализе. Здесь изучаются свойства числовых функций, связанные с их поведением при изменении аргумента. Эти свойства -- как раз то, для чего и был избретён аппарат вычисления производных и изучались их свойства. В этой главе изучаются связи производных с возрастанием и убыванием функций, с направлением выпуклости их графиков, с нахождением экстремальных (то есть наибольших и наименьших) значений. Изучаются также другие важные подробности поведения функций, например, наличие асимптот. Всё это изучающий математику должен хорошо освоить: предыдущие главы учебника были лишь прелюдией к седьмой главе.

Объектно-ориентированный подход CorelDRAW Установка параметров цвета в цифровом виде Искусство Западная Европа Трехмерное объектно-ориентированное программное обеспечение CAD Эффект Комптона Волновые свойства электронов Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Строение атомных ядер Волновые свойства микрочастиц Математические пакеты Моделирование и расчет электронных схем Конструкционные материалы Релятивистская механика Справочник по физикеПрикладная математика Архитектурное проектирование ArchiCAD Строительное и ландшафтного проектирования Planix Home 3D Architect Функции преобразования ;