Высшая математика - Функции и их графики


Экспорт рисунка в файл Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную

studrus.ru

Геометрическая оптика

Фотоэлектрический эффект

Ядерные реакции
Элементы чертежей и схем

Волновые свойства

Квантовая механика

Электростатика
АН СССР

Квантовая физика

Электромагнитное поле

Конструкционные материалы
выбора цвета визуально
Оформление чертежей

Справочник по физике

Учебник по документообороту
Квантовая физика

Прикладная математика
Промышленные выставки

Релятивистская механика

Задачник по ядерной физике

Высшая математика

Функции и их графики
Найти дивергенцию и ротор
векторного поля
Выпуклость и точки перегиба

Пределы функции
узкополосный фильтр

Непрерывность функций
и точки разрыва

Производные и дифференциалы

Свойства дифференцируемых
функций

Исследование функций
и построение графиков

Кривизна плоской кривой
Квантование и дискретизация

Векторная алгебра

Прямые линии и плоскости

Кривые и поверхности
второго порядка

Учебник Outlook

Maple

Первое знакомство с Maple
Информационная поддержка
Работа с файлами и
документами
Управление интерфейсом
пользователя
Типы данных системы
Встроенные операторы и
функции
Типовые средства
программирования
Математический анализ
Анализ функций и полиномов
Символьные операции
Типовые средства
построения графиков
Расширенные средства
графики
Решение дифференциальных
уравнений
Математические пакеты
Пакеты линейной алгебры
Обзор пакетов
Решение научных задач

MATLAB

Знакомство с MATLAB
Установка системы
Визуализация вычислений
Работа со справкой
Интерфейс MATLAB
Обычная графика MATLAB
Специальная графика
Операторы и функции
Математические функции
Операции с векторами
и матрицами
Матричные операции
Функции разреженных матриц
Многомерные массивы
Массивы структур
Массивы ячеек
Численные методы
Обработка данных
Работа с символьными данными
Работа с файлами
Основы программирования
Отладка программ
Поддержка звуковой системы
Пакеты расширения MATLAB

Учебник, что предлагается Вашему вниманию -- это и книга, и компьютерная программа. Он включает в себя как обычный текст (снабжённый, правда, гиперссылками на используемые понятия и утверждения), так и задачи и упражнения, которые предлагается Вам решить в интерактивном режиме. Однако, если Вам всё понятно и без этих упражнений, Вы можете их пропустить или, решая всё правильно с первой попытки, лишь сообщить правильный ответ к задаче. Часть упражнений и задач, однако, не предполагает интерактивного режима решения; эти задачи и упражнения нужно решать традиционно: если Ваш ответ не сошёлся с тем, что приведён в учебнике, попробуйте сами отыскать ошибку в своём решении и исправить её. В систему знаков в архитектуре входят элементы, логически осмысленные на основе жизненного опыта и установившейся значимости их. Это элементы выделенного архитектурного пространства, ограждающей и несущей конструкции, окна и двери, оборудование и мебель.
Темы, излагаемые в учебнике -- это те темы, которые традиционно проходятся по программе математики в первом семестре ИГЭУ. Это два больших раздела, которые можно назвать "Математический анализ" и "Алгебра и аналитическая геометрия". Тема "Математический анализ" охватывает главы с 1 по 9, а главы с 10 и до конца учебника -- это "Алгебра и аналитическая геометрия". Значение этих глав для понимания основных математических понятий и утверждений, которые проходятся в первом семестре, -- разное. Поэтому мы дадим сейчас обзор учебника по главам, охарактеризовав их значимость для понимания курса в целом и для дальнейшего изучения математики в следующих семестрах.

Первая глава носит вводный характер и предназначена в основном для напоминания и повторения понятий, изученных в школе. Однако важное значение имеет вводимое здесь понятие произвольной функции (не обязательно числовой функции числового переменного). Альбрехт Дюрер Самым ярким представителем искусства Германии эпохи Возрождения был Альбрехт Дюрер, родившийся в семье нюрнбергского золотых дел мастера, переселенца из Венгрии. Будущий художник обучался отцовскому ремеслу, пока врождённая склонность к живописи не заставила его изменить семейной традиции. В 1486 г. он поступил учеником в мастерскую Михаэля Вольгемута - оборотистого дельца, но заурядного живописца.
Если у Вас затруднения со школьным материалом, касающимся элементарных функций и их свойств, непременно прочитайте вторую половину первой главы, где проводится достаточно подробный разбор тех функций, которые будут использоваться на протяжении всего изучения и применения математики. Эти функции и их свойства непременно надо хорошо усвоить, чтобы не испытывать далее затруднений в тех мелочах, которые далее часто будут предполагаться очевидными. Масса неоднородного тела Примеры решения и оформления задач контрольной работы

Функции и их графики

Основные обозначения и определения Всюду в тексте учебника мы будем использовать общепринятые обозначения, те, что используются и в школьных учебниках. В частности,
$\mathbb{R}$ означает числовую прямую (множество всех вещественных чисел);
$\mathbb{N}$ означает множество натуральных чисел $\{1;2;3;4;\dots\}$ ;
$\mathbb{Z}$ означает множество всех целых чисел $\{\dots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\dots\}$ ;
$\varnothing$ означает пустое множество; по определению, в нём нет ни одного элемента;

Пример Пусть в группе 20 студентов. Рассмотрим множество номеров ${A=\{1;2;\dots;20\}}$ и множество -- множество фамилий, записанных русским алфавитом.

Пример Пусть $A=\mathbb{R}, B=[-1;1]$ и отображение для $x\in A$ задано формулой $f(x)=\sin x$ . Тогда -- сюръекция, так как любое число из отрезка равно значению $\sin x$ при некотором .

Определение Отображение $f:A\to B$ , которое одновременно является и сюръекцией, и инъекцией, называется взаимно-однозначным соответствием между и , или биекцией. Это означает, что каждому элементу $x\in A$ сопоставляется ровно один элемент $y\in B$ , причём для каждого элемента $y\in B$ имеется такой элемент $x\in A$ , который сопоставлен этому .

Пример В условиях примера 1.4 отображение $f:P\to N'$ -- биекция. При выдаче пальто из гардероба по каждому из выданных номерков $n\in N'$ находят соответствующее номерку пальто $p\in P$ . Соответствие $g:N'\to P$ , $n\mapsto p$ ( $n\in N'$ , $p\in P$ )-- это обратная функция к функции $f:P\to N'$ , $p\mapsto n$ , то есть $g=f^{-1}$ .

Пример Пусть -- множество всевозможных отрезков , расположенных в (трёхмерном) пространстве, концы которых (точки и ) не совпадают. Пусть соответствие сопоставляет каждому такому отрезку его длину $f(CD)=\vert CD\vert$ . Так как длина отрезка-- число, то -- числовая функция, $f:A\to\mathbb{R}$ . Легко видеть, что область её значений состоит из всех положительных чисел: $\mathcal{E}(f)=\{y\in\mathbb{R}: y>0\}$

Пример Пусть -- круг радиуса 1 (включая окружность радиуса 1-- границу круга) на числовой плоскости $\mathbb{R}^2$ с координатами и , с центром в точке . Функцию в любой точке круга зададим как расстояние от этой точки до центра. Таким образом, $f(x)=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$ , где $x=(x_1;x_2)\in A\sbs R^2$ .
Первый способ задания функции: табличный Если множество $A=\mathcal{D}(f)$ конечно и состоит из элементов $x_1,x_2,\dots,x_N$ , то функцию можно задать перечислением, указав, какие значения она принимает на каждом элементе $x\in A$ .

Пример 1.11 В теории игр (одной из областей математики) рассматривается, в частности, такая задача. При взаимодействии двух партнёров и каждый из них может получить выигрыш, зависящий от вариантов действий каждого партнёра.
Второй способ задания функции: с помощью формулы

Пример Пусть $A=\mathbb{R}^2=\{(x;y):x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}\}$ -- числовая плоскость и функция задана формулой
$\displaystyle f(x;y)=x^2+2xy-y^2.$

Замечание Функции, заданные одной и той же формулой, но на разных множествах , считаются различными.

Упражнение Придумайте другую формулу, дающую те же самые значения , но при всех прочих ( $n=4,5,6,\dots$ ) дающую значения, не равные .
Пример Пусть функция задана формулой $\displaystyle f(x)=\sqrt{x^6+2x^3-5x^2+3x+7},\quad\mathcal{D}(f)\sbs\mathbb{R}.$
Обзор некоторых элементарных функций

Линейная функция

Арифметическая прогрессия
Абсолютная величина (модуль)
Функция тангенс
Функция синус
Показательная функция (экспонента)
Многочлен
Степенная функция
Третий способ задания функции: указание процедуры вычисления Пример Пусть $a\in\mathbb{R}$ и -- это наибольший корень $x_{\max}$ уравнения .
Композиция функций

Пример 1.19 Пусть $f(x)=x+\frac{\pi}{2}$ , $x\in X=\mathbb{R}$ , и $g(u)=\sin u$ , $u\in U_2=\mathbb{R}$ . Тогда определена композиция $g\circ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , заданная формулой $y=g(f(x))=\sin(x+\frac{\pi}{2})$ . По известной формуле приведения полученная композиция-- это косинус: $(g\circ f)(x)=\cos x$ при всех $x\in\mathbb{R}$ .
Обратная функция

Пример 1.22 Аналогично определяется функция арккосинус (обозначается $\arccos$ или $\cos^{-1}$ ). Это функция, обратная к ограничению функции $\cos$ на отрезок $[0;\pi]$ (такое ограничение называется главной ветвью косинуса):

Упражнение Дайте определение функции арккотангенс (обозначается $\mathop{\rm arcctg}\nolimits$ ), рассмотрев главную ветвь котангенса-- ограничение функции $\mathop{\rm ctg}\nolimits$ на интервал $(0;\pi)$ .
Упражнения

Упражнение Последовательность ${f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}}$ задана формулой ${f(n)=n^2-3n+5}$ . Найдите такие числа и , что для любого $n\in\mathbb{N}$ , $n\geqslant 3$ , выполняется рекуррентная формула .
Упражнение Постройте графики функций: $\begin{displaymath}f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x,&\mbox{ при }x<0,\\ -x^2,&\mbox{ при }x\geqslant 0; \end{array} \right.\end{displaymath}$
Упражнение Найдите области определения и области значений следующих функций: ;
Упражнение Пусть $f(x)=\arcsin x$ , $x\in[-1;1]$ , $g(u)=\cos u$ , $u\in\mathbb{R}$ . Тогда определены композиции $f\circ g$ и $g\circ f$ . Докажите, что при $x\in[-1;1]$ имеет место равенство $(g\circ f)(x)=\sqrt{1-x^2}$ . Выясните также, чему равна функция $f\circ g$ и каков её график.