Численные методы MATLAB

Использование решателей систем ОДУ

В описанных далее функциях для решения систем дифференциальных уравнений приняты следующие обозначения и правила:

• options — аргумент, создаваемый функцией odeset (еще одна функция — odeget или bvpget (только для bvp4c)— позволяет вывести параметры, установленные по умолчанию или с помощью функции odeset /bvpset);

• tspan — вектор, определяющий интервал интегрирования [tO tfinal]. Для получения решений в конкретные моменты времени t0, tl,..., tfinal (расположенные в порядке уменьшения или увеличения) нужно использовать tspan = [t0 tl ... tfinal];

• у0 — вектор начальных условий;

• pi, р2,.„ — произвольные параметры, передаваемые в функцию F;
  

• Т, Y — матрица решений Y, где каждая строка соответствует времени, возвращенном в векторе-столбце Т.

Перейдем к описанию функций для решения систем дифференциальных уравнений:

• [T.Y] = solver(@F,tspan,у0) — где вместо solver подставляем имя конкретного решателя — интегрирует систему дифференциальных уравнений вида у'=F(t,y) на интервале tspan с начальными условиями у0. @F — дескриптор ODE-функции. Каждая строка в массиве решений Y соответствует значению времени, возвращаемому в векторе-столбце Т;

• [T.Y] = solver(@F, tspan, yO. options) — дает решение, подобное описанному выше, но с параметрами, определяемыми значениями аргумента options, созданного функцией odeset. Обычно используемые параметры включают допустимое значение относительной погрешности RelTol (по умолчанию le-З) и вектор допустимых значений абсолютной погрешности AbsTol (все компоненты по умолчанию равны 1е-6);

• [T.Y] = solver(@F,tspan,yO,options,pl,p2...) — дает решение, подобное описанному выше, передавая дополнительные параметры pi, р2,... в m-файл F всякий раз, когда он вызывается. Используйте options=[], если никакие параметры не задаются;

• [T.Y.TE.YE.IE] = solver(@F.tspan,yO,options) — в дополнение к описанному решению содержит свойства Events, установленные в структуре options ссылкой на функции событий. Когда эти функции событий от (t, у, равны нулю, производятся действия в зависимости от значения трех векторов value, isterminal, di rection (их величины можно установить в m-файлах функций событий). Для i-й функции событий value(i) —значение функции, isterminal (i) — прекратить интеграцию при достижении функцией нулевого значения, direction^) = 0, если все нули функции событий нужно вычислять (по умолчанию), +1 — только те нули, где функция событий увеличивается, -1 — только те нули, где функция событий уменьшается. Выходной аргумент ТЕ — вектор-столбец времен, в которые происходят события (events), строки YE являются соответствующими решениями, а индексы в векторе IE определяют, какая из i функций событий (event) равна нулю в момент времени, определенный ТЕ. Когда происходит вызов функции без выходных аргументов, по умолчанию вызывается выходная функция odeplot для построения вычисленного решения. В качестве альтернативы можно, например, установить свойство OutputFcn в значение ' odephas2' или 'odephas3' для построения двумерных или трехмерных фазовых плоскостей.

• [T.X.Y] = sim(@model,tspan.-y0.options,ut.p1,р2..„) — использует модель SIMULINK, вызывая соответствующий решатель из нее. Пример:

[T.X.Y] - sim(@model....).

Параметры интегрирования (options) могут быть определены и в m-файле, и в командной строке с помощью команды odeset. Если параметр определен в обоих местах, определение в командной строке имеет приоритет.

Решатели используют в списке параметров различные параметры:

• NormControl — управление ошибкой в зависимости от нормы вектора решения [on | {off}]. Установите 'on', чтобы norm(e) <= max(RelTol*norm(y), AbsTol). По умолчанию все решатели используют более жесткое управление по каждой из составляющих вектора решения;

• RelTol — относительный порог отбора [положительный скаляр]. По умолчанию 1е-3 (0.1% точность) во всех решателях; оценка ошибки на каждом шаге интеграции e(i) <= max(RelTol*abs(y(i)), AbsTol(i));

• AbsTol — абсолютная точность [положительный скаляр или вектор {1е-6}].Скаляр вводится для всех составляющих вектора решения, а вектор указывает на компоненты вектора решения. AbsTol по умолчанию 1е-6 во всех решателях;

• Refine - фактор уточнения вывода [положительное целое число] — умножает число точек вывода на этот множитель. По умолчанию всегда равен 1, кроме ODE45, где он 4. Не применяется, если tspan > 2;

• OutputFcn — дескриптор функция вывода [function] — имеет значение в том случае, если решатель вызывается без явного указания функции вывода, OutputFcn по умолчанию вызывает функцию odeplot. Эту установку можно поменять именно здесь;

• OutputSel — индексы отбора [вектор целых чисел] Установите компоненты, которые поступают в OutputFcn. OutputSel по умолчанию выводит все компоненты;

• Stats — установите статистику стоимости вычислений [on {off}];

• Jacobian — функция матрицы Якоби [function constant matrix]. Установите это свойство на дескриптор функции FJac (если FJac(t, у) возвращает dF/dy) или на имя постоянной матрицы dF/dy;

• Jpattern — график разреженности матрицы Якоби [имя разреженной матрицы]. Матрица S с S(i,j) = 1, если составляющая i F(t, у) зависит от составляющей j величины у, и 0 в противоположном случае;

• Vectorized — векторизованная ODE-функция [on | {off}]. Устанавливается на 'on', если ODE-функция F F(t,[yl y2...]) возвращает вектор [F(t, yl) F(t, y2) ...];

• Events — [function] — введите дескрипторы функций событий, содержащих собственно функцию в векторе value, и векторы isterminal и direction (см выше);

• Mass — матрица массы [constant matrix function]. Для задач М*у' = f(t, у) установите имя постоянной матрицы. Для задач с переменной М введите дескриптор функции, описывающей матрицу массы;

• MstateDependence — зависимость матрицы массы от у [none | {weak} | strong] — установите 'nоnе' для уравнений M(t)*y' = F(t, у). И слабая ('weak'), и сильная ('strong') зависимости означают M(t, у), но 'weak' приводит к неявным алгоритмам решения, использующим аппроксимации при решении алгебраических уравнений;

• MassSingular — матрица массы М сингулярная [yes no | {maybe}] (да/нет/может быть);

• MvPattern — разреженность (dMv/dy), график разреженности (см функцию spy) — введите имя разреженной матрицы S с S(i,j) = 1 для любого k, где (i, k) элемент матрицы массы M(t, у) зависит от проекции] переменной у, и 0 в противном случае;

• Initial Step — предлагаемый начальный размер шага, по умолчанию каждый решатель определяет его автоматически по своему алгоритму;

• Initial SI ope — вектор начального уклона ур0 ур0 = F(t0,y0)/M(t0, y0);

• MaxStep — максимальный шаг, по умолчанию во всех решателях равен одной десятой интервала tspan;

• BDF (Backward Differentiation Formulas) [on | {off}] — указывает, нужно ли использовать формулы обратного дифференцирования (методы Gear) вместо формул численного дифференцирования, используемых в ode 15s по умолчанию;

• MaxOrder - Максимальный порядок ODE15S [1 | 2 | 3 4 | {5}].

Решатели используют в списке различные параметры. В приведенной ниже таблице они даны для решателей обычных (в том числе жестких) дифференциальных уравнений.

Решатель bvp4c имеет очень небольшое число параметров, но можно вводить не только матрицу Якоби интегрируемой функции, но и матрицу Якоби, содержащую частные производные функции граничных условий по границам интервала и по неизвестным параметрам.

Покажем применение решателя ОДУ на ставшем классическом примере — решении уравнения Ван-дер-Поля, записанного в виде системы из двух дифференциальных уравнений:

y' ₁₌ y _{2 ;}

y' ₂₌ 100*(1-y ₁ )^2 _* y ₂ -y ₁

при начальных условиях

y ₁ ,(0) = 0; 

y ₂ (0) = 1.

Перед решением нужно записать систему дифференциальных уравнений в виде ode-функции. Для этого в главном меню выберем File > New > M-File и введем

function dydt = vdp100(t.y)

dydt = zeros(2.1); % a column vector

dydt(l) = y(2);

dydtC2) = 100*(1 -у(1^)2)*у(2) -y(1);

Сохраним m-файл-функцию. Тогда решение решателем ode15s и сопровождающий его график можно получить, используя следующие команды:

» [T,Y]=odel5s(@vdp100.[0 30].[2 0]); 

» plot(T.Y)

» hold on:gtext('yl').gtext('y2')

Последние команды позволяют с помощью мыши нанести на графики решений y ₁ = y(1) и у ₂ = y(2) помечающие их надписи.